Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$ , die (in ${}\mathbb {Q}$ ) nicht konvergiert.

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton wachsende reelle Folge, die nach oben beschränkt ist. Es gelte also ${}x_{m}\leq x_{n}$ für ${}m\leq n$ und ${}x_{n}\leq b$ für alle ${}n$ und eine gewisse reelle Zahl ${}b$ . Zeige, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Es gelte

{}\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,

für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Folgt daraus, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Element mit ${}0\leq a<1$ . Es gebe ein ${}N$ derart, dass

{}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,

gelte für alle ${}n\geq N$ . Zeige, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe *

Es sei ${}I_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ . Zeige, dass der Durchschnitt

\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe

Es sei ${}I_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit ${}x_{n}\in I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}x$ und ${}J_{n}=[c_{n},d_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}y$ . Beschreibe eine Intervallschachtelung für ${}x+y$ .

Aufgabe

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

{}x_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\,.

Zeige, dass diese Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und dass der Grenzwert ${}x$ die Bedingung

{}x=1+x^{-1}\,

erfüllt. Berechne daraus ${}x$ .

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Aufgabe

Es seien ${}b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch ${}x_{0}=a$ , ${}y_{0}=b$ und durch

x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},

y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.

Zeige, dass ${}[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl und ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$ . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

{}x_{n+1}:={\frac {x_{n}+a/x_{n}}{2}}\,

gegen ${}{\sqrt {a}}$ konvergiert.

Aufgabe *

Berechne die Gaußklammer von ${}-{\frac {133}{3}}$ .

Aufgabe

Berechne die Gaußklammer

\left\lfloor {\frac {513}{21}}\right\rfloor .

Aufgabe *

Es seien ${}x,y$ reelle Zahlen. Zeige, dass

{}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}z$ eine rationale Zahl. Zeige, dass ${}z$ genau dann ganzzahlig ist, wenn

{}\left\lfloor -z\right\rfloor =-\left\lfloor z\right\rfloor \,

gilt.

Aufgabe

Es sei

{}n=dq+r\,

das Ergebnis einer Division mit Rest innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass

{}q=\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor \,

ist.

Aufgabe

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

3,601473301....

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge ${}10,1,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},{\frac {1}{10000}},{\frac {1}{100000}}$ und entsprechenden Grenzen.

Aufgabe

Bestimme die Dezimalentwicklung von ${}{\frac {5}{7}}$ anhand des in Satz 5.8 besprochenen Rekursionsschemas.

Aufgabe *

Zeige durch Induktion nach ${}k$ , dass für eine reelle Zahl ${}x\in [0,1[$ und die durch das Rekursionsschema aus Satz 5.8 definierten Zahlen ${}z_{i}$ und ${}s_{i}$ die Gleichheiten

{}x=\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+s_{k}10^{-k}\,

gelten.

Aufgabe

Zeige, dass für eine rationale Zahl ${}x={\frac {a}{b}}\in [0,1[$ das Rekursionsschema aus Satz 5.8 die Eigenschaft besitzt, dass ${}s_{i}={\frac {r_{i}}{b}}$ ein Bruch mit ${}b$ als Nenner ist und dass die Beziehung

{}a10^{i}=bq_{i}+r_{i}\,

mit

{}q_{i}=\sum _{j=1}^{i}z_{j}10^{i-j}\,

gilt.

Aufgabe

Die beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

x=0,z_{1}z_{2}z_{3}\ldots

und

y=0,u_{1}u_{2}u_{3}\ldots

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen ${}xy$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

0{,}3333333333\dotso

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von ${}3x$ sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ${}3x$ ?