Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 10

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&3&4&-1\\2&5&7&-1\\-1&2&3&-2\\-2&0&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}f\colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\operatorname {kern} f=\operatorname {kern} {\left(f\circ f\right)}$,
2. ${}\operatorname {kern} f\cap \operatorname {bild} f=\{0\}$,
3. ${}V=\operatorname {kern} f\oplus \operatorname {bild} f$,
4. ${}\operatorname {bild} f=\operatorname {bild} {\left(f\circ f\right)}$.

Aufgabe

Es sei die lineare Abbildung ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ durch ${}f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)$ definiert.

1. Bestimme die zu ${}f$ korrespondierende Matrix ${}A$. Ist ${}f$ injektiv?
2. Es sei ${}{\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegeben durch

   $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   und sei ${}{\mathcal {B}}'=\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{4}$ gegeben durch

   $w_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,w_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\,,w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,w_{4}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

   Berechne ${}A_{{\mathcal {B}}'}^{\mathcal {B}}(f)$.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&5\\4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Es sei ${}U\subseteq K^{3}$ der durch die lineare Gleichung ${}2x+3y+4z=0$ definierte Untervektorraum von ${}K^{3}$, und ${}\psi$ sei die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$. Zu ${}U$ gehören Vektoren der Form

$u=(0,1,a),\,v=(1,0,b){\text{ und }}w=(1,c,0).$

Berechne ${}a,b,c$ und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

${\mathfrak {b}}_{1}=v,w,\,{\mathfrak {b}}_{2}=u,w{\text{ und }}{\mathfrak {b}}_{3}=u,v$

von ${}U$ sowie die beschreibenden Matrizen für ${}\psi$ bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ${}K^{2}$).

Aufgabe

Ist ${}\operatorname {dim} _{\mathbb {Q} }\,\mathbb {R} <\infty$?

Hinweis: Verwende die Tatsache (ohne Beweis), dass ${}\mathbb {R}$ nicht abzählbar ist.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Seien

$A={\begin{pmatrix}2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} ){\mbox{ und }}b={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}.$

Bestimme

1. ${}\operatorname {Rang} (A)$;
2. eine Basis und die Dimension des Lösungsraums des homogenen Gleichungssystems ${}A\cdot x=0$;
3. die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems ${}A\cdot x=b$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&1&0&-2\\1&3&3&-1\\3&2&4&-3\\2&-2&2&3\end{pmatrix}}.$

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