Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 9

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{2}$ Untervektorräume sind:

1. ${}V_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+2y=0\right\}}$,
2. ${}V_{2}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq y\right\}}$,
3. ${}V_{3}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+1\right\}}$,
4. ${}V_{4}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=0\right\}}$.

Aufgabe

Gegeben seien die beiden Untervektorräume

$V_{1}=\langle (1,1,2,1)^{t},(0,-2,1,0)^{t},(1,-1,3,1)^{t}\rangle {\text{ und }}V_{2}=\langle (3,1,7,3)^{t},(-3,2,-5,-1)^{t},(0,3,2,2)^{t}\rangle$

des ${}\mathbb {R} ^{4}$. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von ${}V_{1},V_{2}$ und ${}V_{1}\cap V_{2}$.

Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen ${}\mathbb {R}$-linear sind:

1. ${}f_{1}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$, ${}(x,y)^{t}\longmapsto (x+y,x-y)^{t}$,
2. ${}f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto 2x+1$,
3. ${}f_{3}\colon C[0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}\varphi \longmapsto \int _{0}^{1}\varphi (t)dt$,
4. ${}f_{4}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(x,y)^{t}\longmapsto xy$,
5. ${}f_{5}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}z\longmapsto {\overline {z}}$.

Ist ${}f_{5}$ ${}{\mathbb {C} }$-linear?

Aufgabe

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&3&4&-1\\2&5&7&-1\\-1&2&3&-2\\-2&0&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}f\colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\operatorname {kern} f=\operatorname {kern} {\left(f\circ f\right)}$,
2. ${}\operatorname {kern} f\cap \operatorname {bild} f=\{0\}$,
3. ${}V=\operatorname {kern} f\oplus \operatorname {bild} f$,
4. ${}\operatorname {bild} f=\operatorname {bild} {\left(f\circ f\right)}$.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Sind die reellen Zahlen ${}1,\,{\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ ?

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ die Standardbasisvektoren des ${}\mathbb {R} ^{4}$ und die lineare Abbildung ${}f\colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ sei gegeben durch

$f(e_{1})={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\1\end{pmatrix}},f(e_{2})={\begin{pmatrix}-7\\4\\1\\2\end{pmatrix}},f(e_{3})={\begin{pmatrix}-4\\4\\0\\2\end{pmatrix}},f(e_{4})={\begin{pmatrix}10\\-4\\-2\\-2\end{pmatrix}}.$

Bestimme jeweils eine Basis von ${}\operatorname {kern} f$, ${}\operatorname {bild} f$ und ${}\operatorname {kern} f\cap \operatorname {bild} f$.

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