Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	5	2	6	2	6	6	5	6	4	4	4	2	8	4	64

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das

$\left({\frac {947}{2267}}\right).$

Bemerkung: ${}947$ und ${}2267$ sind Primzahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(360)$.

a) Schreibe ${}\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ${}\mathbb {Z} /(360)$?

c) Schreibe das Element ${}239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von ${}239$ in ${}\mathbb {Z} /(360)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen

${\frac {4}{7}},\,{\frac {7}{10}},\,{\frac {13}{8}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe (6 (2+1+3) Punkte)

1. Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(3)$, in ${}\mathbb {Z} /(9)$ und in ${}\mathbb {Z} /(27)$.
2. Finde eine ganze Zahl, die in ${}\mathbb {Z} /(3)$ primitiv ist, aber nicht in ${}\mathbb {Z} /(9)$.
3. Zeige, dass jede ganze Zahl, die in ${}\mathbb {Z} /(9)$ primitiv ist, auch in ${}\mathbb {Z} /(27)$ primitiv ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong {\mathbb {Z} }[X]/(X^{2}+6)$. Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {-6}}\,.$

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$. Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$?

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom ${}X^{6}-1$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es sei ${}p$ eine Primzahl, die in ${}A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen (man darf benutzen, dass der Betrag von ${}N(z)$ mit der Anzahl des Restklassenringes ${}A_{D}/(z)$ übereinstimmt).

1. ${}p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in ${}A_{D}$.
2. ${}p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in ${}A_{D}$.
3. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}A_{D}$.
4. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Primelementes aus ${}A_{D}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die beiden Elemente

$x=4+7{\sqrt {-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,y=5+8{\sqrt {-2}}.$

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen ${}N(x)$ und ${}N(y)$ (in ${}\mathbb {Z}$) und das von ${}x$ und ${}y$ erzeugte Ideal in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: In ${}\mathbb {Z} /(p)$, wobei ${}p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von

$6+13{\mathrm {i} }.$

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.