Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 18

In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:

Ein Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von ${}F$ teilerfremd sind.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Zeige, dass man ${}F$ als ${}F=n{\tilde {F}}$ mit ${}n\in \mathbb {N}$ und primitivem ${}{\tilde {F}}$ schreiben kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}F,G\in \mathbb {Z} [X]$ primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt ${}FG$ primitiv ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ ein irreduzibles Polynom. Dann ist ${}F$, aufgefasst als Polynom in ${}\mathbb {Q} [X]$, ebenfalls irreduzibel.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Sei ${}f\in R$. Zeige, dass für das von ${}f$ erzeugte Hauptideal gilt:

${}R\cap (f)S=(f)R\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über den Primzahlen ${}p=2,3,5,7$ liegen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte die endliche Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-p)\,$

vom Grad ${}3$. Sei ${}f=aX^{2}+bX+c\in L$ ein Element davon mit ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$. Berechne das Minimalpolynom von ${}f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von ${}f$.

Welche Bedingungen an ${}a,b,c$ ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ${}f$ ganz über ${}\mathbb {Z}$ ist?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ verschiedene Primideale ${}\neq 0$. Dann gibt es einen Ringisomorphismus

$R/{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\times R/{\mathfrak {q}}.$

Die folgende Aufgabe benutzt das Produkt von Idealen.

Zu zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\}\,$

mit ${}a_{i}\in {\mathfrak {a}}$, ${}b_{i}\in {\mathfrak {b}}$ definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten ${}ab$ (mit ${}a\in {\mathfrak {a}}$, ${}b\in {\mathfrak {b}}$) erzeugt wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ zwei verschiedene Primideale. Dann ist

${}{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring ${}\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Ein kommutativer Ring ${}R$ ist genau dann noethersch, wenn es in ${}R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset {\mathfrak {a}}_{3}\subset \ldots \,$

gibt.