Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 10/latex

\setcounter{section}{10}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $x$ und $y$ ungerade. Zeige, dass
\mathl{x^2+y ^2}{} keine Quadratzahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(x,y,z)}{} ein \definitionsverweis {pythagoreisches Tripel}{}{.} Zeige, dass $x$ oder $y$ ein Vielfaches von $3$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ \neq} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die in Satz 10.4 beschriebene rationale Parametrisierung des Einheitskreises injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Dreieck $D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck $D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke $D_1$ und $D_2$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von $D_1$ und $D_2$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Multiplikation in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{} eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } + { \frac{ 4 }{ 5 } } { \mathrm i} }
{ \in }{S^1_\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen
\mathl{ S^1_\Q}{} und
\mathl{\Q/\Z}{} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\R }
{ =} { { \left\{ z \in \R[ { \mathrm i} ] \cong {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu
\mathl{\R/\Z}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { r^2 +s^2 }
{ =} { (r+ { \mathrm i} s)(r- { \mathrm i} s) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Summen von zwei Quadraten mit der zugehörigen Zerlegung in
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{.} Berechne $n^2$ auf zwei verschiedene Weisen und zeige damit, dass
\mathdisp {{ \frac{ r^2-s^2+2rs { \mathrm i} }{ n } }} { }
ein Punkt auf dem rationalen Einheitskreis ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der rationale Einheitskreis \zusatzklammer {als Gruppe} {} {} nicht endlich erzeugt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} \mathkor {} {(\Q,0,+)} {und} {(\Q_+,1, \cdot)} {} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { \Q[ { \mathrm i} ]^{\times} } { (\Q_+,1, \cdot) } {x+ { \mathrm i} y} { x^2+y^2 } {,} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige mit Hilfe des \definitionsverweis {pythagoreischen Tripels}{}{}
\mathl{(9,40,41)}{,} dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $5$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige mit Hilfe der Aussage, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^4 -y^4 }
{ = }{z^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2-5y^2 }
{ =} { 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} keine ganzzahlige Lösung besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass in
\mathl{\Z/(29)}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 +y^4 +z^4 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab }
{ = }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a-1)d }
{ = }{c-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung
\mathl{(x,y) \in \N_+ \times \N_+}{} für die diophantische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^{k} +1 }
{ =} { y^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k, n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung
\mathdisp {x^n+y^n+z^n =0} { }
für
\mathl{n \geq 2}{} keine von
\mathl{(0,0,0)}{} verschiedene Lösung besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige: In
\mathl{\Z/(p)}{,} wobei $p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine Primzahl mit
\mathl{p=1 \mod 4}{} und sei
\mathl{p=x^2 + y^2}{} eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten,
\mathl{x,y \in \mathbb N}{.} Es sei $k$ ein ungerader Teiler von $x$. Dann ist $k$ ein Quadratrest modulo $p$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme in
\mathl{\Z/(11)}{} alle Lösungen
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme in
\mathl{\Z/(7)}{} alle Lösungen
\mathl{(x,y)}{} der diophantischen quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x^2+2y^2+5xy+4x+8y+6 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Approximiere die \zusatzklammer {obere} {} {} primitive dritte Einheitswurzel auf dem rationalen Einheitskreis mit einem Fehler von maximal
\mathl{1/1000000}{.}

}
{} {}