Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\mathbb Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mathl{x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}}{} einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für jedes
\mathl{x \in \R}{} die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { \left \lfloor 2x \right \rfloor - 2 \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von
\mathl{100!}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {\binom { 20 } { 10 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe
des Bertrandschen Postulats,
dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Binomialkoeffizient}{}{}
\mathdisp {\binom { 2n } { n }} { }
einen Primfaktor größer als $n$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Fakultät
\mathl{n!}{} keine Quadratzahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
}
{} {}
Zur Erinnerung.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathkor {} {\log_b { \left( b^x \right) } =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,}
das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur
\definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{} $b$.
}{Es gilt
\mathl{\log_{ b } (y \cdot z) = \log_{ b } y + \log_{ b } z}{}
}{Es gilt
\mathl{\log_{ b } y^u = u \cdot \log_{ b } y}{} für
\mathl{u \in \R}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y
}
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) }
}
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\varphi (n)}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi (n)} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
sowohl in
\mathkor {} {1} {als auch in} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {}
einen
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei ${\varphi (n)}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi (n)} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
sowohl in
\mathkor {} {1} {als auch in} {0} {}
einen Häufungspunkt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Beweise
Korollar 12.5,
also die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, mit Hilfe von
Korollar 11.6
über die Riemannsche $\zeta$-Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme anhand des Beweises
der Ungleichungen von Tschebyschow
einen expliziten Wert für $c$ mit
\mathl{\pi(x) \geq c \frac{x}{\ln (x)}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für $x$ hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen $x$ und $x^2$ als zwischen $1$ und $x$ gibt.
}
{} {}
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