Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\mathbb Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mathl{x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}}{} einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für jedes
\mathl{x \in \R}{} die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} { \left \lfloor 2x \right \rfloor - 2 \left \lfloor x \right \rfloor }
{ \leq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von
\mathl{100!}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {\binom { 20 } { 10 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige mit Hilfe des Bertrandschen Postulats, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Binomialkoeffizient}{}{}
\mathdisp {\binom { 2n } { n }} { }
einen Primfaktor größer als $n$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Fakultät
\mathl{n!}{} keine Quadratzahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.

}
{} {}

Zur Erinnerung.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen. \aufzaehlungvier{Es ist \mathkor {} {\log_b { \left( b^x \right) } =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,} das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur \definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{} $b$. }{Es gilt
\mathl{\log_{ b } (y \cdot z) = \log_{ b } y + \log_{ b } z}{} }{Es gilt
\mathl{\log_{ b } y^u = u \cdot \log_{ b } y}{} für
\mathl{u \in \R}{.} }{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y }
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) } }
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\varphi (n)}$ die \definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi (n)} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} sowohl in \mathkor {} {1} {als auch in} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {} einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei ${\varphi (n)}$ die \definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi (n)} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} sowohl in \mathkor {} {1} {als auch in} {0} {} einen Häufungspunkt besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x} }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche $\zeta$-Funktion.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für $c$ mit
\mathl{\pi(x) \geq c \frac{x}{\ln (x)}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für $x$ hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen $x$ und $x^2$ als zwischen $1$ und $x$ gibt.

}
{} {}