Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Eine natürliche Zahl $n$ ist genau dann \definitionsverweis {vollkommen}{}{,} wenn die Stammbruchsummenbedingung
\mathdisp {\sum_{d{{|}} n,\, d \neq 1} \frac{1}{d} = 1} { }
gilt. Schreibe für einige vollkommene Zahlen die Stammbruchsumme hin.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine gerade \definitionsverweis {vollkommene Zahl}{}{.} Berechne die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{{\varphi (n)}}{.}

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben werden einige Begriffe verwendet, die mit dem Begriff der vollkommenen Zahl in Verbindung stehen.

Eine natürliche Zahl $n$ heißt \stichwort {defizient} {,} wenn die Summe der Teiler kleiner als $2n$ ist.

Eine natürliche Zahl $n$ heißt \definitionswort {abundant}{,} wenn die Summe der Teiler größer als $2n$ ist.

Eine natürliche \definitionsverweis {abundante Zahl}{}{} heißt \definitionswort {sonderbar}{,} wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige: eine Primzahlpotenz $p^r$ ist \definitionsverweis {defizient}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n >6$ ein Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen. Zeige, dass dann $n$ \definitionsverweis {defizient}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige ohne Verwendung der Regel von Thabit, dass die beiden Zahlen
\mathl{220}{} und
\mathl{284}{} \definitionsverweis {befreundet}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ergänze die folgende \definitionsverweis {Tabelle}{}{} um weitere Zeilen.

%Daten für folgende Tabelle

\renewcommand{\leitzeilenull}{ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a = 3 \cdot 2^{k-1} -1$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{
\mathl{b= 3 \cdot 2^k -1}{} }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{
\mathl{c =9 \cdot 2^{2k-1} -1}{} }

\renewcommand{\leitzeilevier}{
\mathl{m =2^k ab}{} }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{
\mathl{n =2^k c}{} }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltenull}{ $k$ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $2$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $3$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $4$ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ $5$ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ $6$ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ $7$ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinsxeins}{ 5 }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 11 }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 71 }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ 220 }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ 284 }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }

\renewcommand{\azweixeins}{ 11 }

\renewcommand{\azweixzwei}{ 23 }

\renewcommand{\azweixdrei}{ 287 = 7 \cdot 41 \text{ (nicht prim)} }

\renewcommand{\azweixvier}{ \, }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ \, }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }

\renewcommand{\adreixeins}{ 23 }

\renewcommand{\adreixzwei}{ 47 }

\renewcommand{\adreixdrei}{ 1151 }

\renewcommand{\adreixvier}{ 17296 }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ 18416 }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }

\renewcommand{\avierxeins}{ 47 }

\renewcommand{\avierxzwei}{ 95 }

\renewcommand{\avierxdrei}{ 4607 = 17 \cdot 271 \text{ (nicht prim)} }

\renewcommand{\avierxvier}{ \, }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ \, }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxeins}{ 95=5 \cdot 19 \text{ (nicht prim)} }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ 191 }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ 18431 = 7 \cdot 2633 \text{ (nicht prim)} }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ \, }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ \, }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }

\renewcommand{\asechsxeins}{ 191 }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ 383 }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ 73727 }

\renewcommand{\asechsxvier}{ 9363584 }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ 9437056 }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }

\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }

\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }

\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }

\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }

\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }

\tabelleleitsechsxfuenf

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die zahlentheoretische \definitionsverweis {Möbius-Funktion}{}{} \definitionsverweis {multiplikativ}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine zahlentheoretische \definitionsverweis {multiplikative}{}{} Funktion durch ihre Werte an Primzahlpotenzen festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen die folgenden Aussagen gelten. \aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {Faltung}{}{} ist eine kommutative und assoziative Verknüpfung. }{Die Faltungseinheit $I$ ist das neutrale Element der Verküpfung. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U * \mu }
{ =} {I }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U *U }
{ =} { T }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $T$ die Teileranzahlfunktion bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine zahlentheoretische Funktion \maabb {f} {\N_+} {{\mathbb C} } {} genau dann invertierbar bezüglich der \definitionsverweis {Faltung}{}{} ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1) }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {} In den folgenden Aufgaben bezeichnet \maabb {E} {\N_+} {{\mathbb C} } {} die Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E(n) }
{ = }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $n \in \N_+$.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwischen der \definitionsverweis {Möbius-Funktion}{}{} $\mu$, der Identität $E$ und der eulerschen $\varphi$-\definitionsverweis {Funktion}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu *E }
{ =} { \varphi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwischen den zahlentheoretischen Funktionen
\mathl{U, E, \sigma}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U *E }
{ =} { \sigma }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der zahlentheoretischen Funktionen mit der komponentenweisen Addition und der \definitionsverweis {Faltung}{}{} einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} bildet.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
\mathdisp {2^{33}-1, \, 2^{91}-1, \, 2^{13}+1} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $n$ eine gerade \definitionsverweis {vollkommene Zahl}{}{,}
\mathl{n \neq 6}{.} Zeige, dass $n$ die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Kubikzahlen ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $n$ eine ungerade Zahl mit der Eigenschaft, dass in ihrer Primfaktorzerlegung nur zwei verschiedene Primfaktoren vorkommen. Zeige, dass dann $n$ \definitionsverweis {defizient}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Finde eine ungerade \definitionsverweis {abundante}{}{} Zahl $n$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde die kleinste \definitionsverweis {sonderbare Zahl}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass der Quotient
\mathdisp {\frac{\sigma(n)}{n}} { }
unbeschränkt ist.

}
{} {}