Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 19/latex

\setcounter{section}{19}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere einen Körper ${\mathbb F}_9$ mit $9$ Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in ${\mathbb F}_{ 9 }$ für jedes Element die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Man gebe insbesondere die \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $F$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen. Welche \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen
\mathl{\Z/(p^2)}{} und $F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Sei \maabb {F} {K} {K } {} der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.} Zeige, dass genau die Elemente aus
\mathl{\Z/(p)}{} invariant unter $F$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Sei \maabbeledisp {\varphi = F^{e}} {K} {K } {x} { x^{p^{e} } } {} die $e$-te Iteration des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.} Zeige, dass es maximal $p^{e}$ Elemente gibt, die unter $\varphi$ invariant sind, und dass diese Elemente einen Unterkörper von $K$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine \definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{} von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei $F'$ die \definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von $F$ bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Gehe zur Seite \einrueckung{Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln} und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere \definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{4,8,9,16,25,27,32,49,64,81,121,125}{} und
\mathl{132}{} Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K }
{ =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathl{F=X^3+X+2}{} in
\mathl{\Z/(5) [X]}{.}

b) Zeige, dass durch
\mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { }
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mathl{F=X^3+X+2}{} über
\mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_{49}} {{\mathbb F}_{49} } {} bezüglich einer geeigneten ${\mathbb F}_7$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb F}_{49}$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\mathbb F_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus $\mathbb F_q^{\times}$ ein Quadrat in $\mathbb F_q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige \definitionsverweis {endliche Körper}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} der Charakteristik
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \neq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass es in $K$ Elemente gibt, die keine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} besitzen.

b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq} {L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} zwei gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {kommutativen Ringe}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(169)}{} und ${\mathbb F}_{169}$. Bestimme alle \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen diesen drei Ringen.Fakt

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} von ${\mathfrak p}$ eine echte Primzahlpotenz ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl,
\mathl{q=p^{e}}{} mit
\mathl{e \geq 1}{} und sei ${\mathbb F}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und
\mathl{R={\mathbb F}_q[X]}{} der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ zu einem Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} endlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+xy }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die Körper
\mathl{K= \mathbb F_2}{,} $\mathbb F_4$ und $\mathbb F_8$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen \maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K } {x} { x^d } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ d }
{ < }{q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind. } {Zeige, dass die Exponentialfunktionen \maabbeledisp {\psi_b} {K} {K } {x} { b^x } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ b }
{ < }{q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} linear unabhängig sind. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathl{f_1, \ldots ,f_n \in R}{} eine $\Z$-Basis von $R$ mit \definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {\triangle(f_1, \ldots , f_n)} { . }
Es sei
\mathl{h \in R}{.} Zeige, dass
\mathl{hf_1, \ldots ,hf_n}{} eine $\Z$-Basis des Hauptideals $(h)$ bildet und dass gilt:
\mathdisp {\min\{ {{|}}\triangle (b_1, \ldots, b_n){{|}} :\, (b_1, \ldots ,b_n) \, \Z\mbox{-Basis von } (h) \} = N(h)^2 {{|}}\triangle (f_1, \ldots , f_n){{|}}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e,d }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige:
\mathl{{\mathbb F}_{ p^d }}{} ist genau dann ein Unterkörper von
\mathl{{\mathbb F}_{ p^e }}{}, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${\mathbb F}_q$ der zugehörige \definitionsverweis {endliche Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{{\mathbb F}_{q^2}}{} jedes Element aus ${\mathbb F}_q$ ein Quadrat ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{7}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{} vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von $L$, ähnlich wie in Lemma 19.9.

}
{} {}