Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \zusatzklammer {Isomorphietyp des} {} {} \definitionsverweis {Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subset} { \Q[X]/ { \left( X^2+ \frac{3}{2}X - \frac{5}{7} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} auf $\Q[\sqrt{D}]$ ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} und auf $A_D$ ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} ist. Zeige, dass der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} gleich $\Q$ bzw. gleich $\Z$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die $1$ Teil einer Ganzheitsbasis von $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Spur}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $D$ und $E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien $A_D$ und $A_E$ die zugehörigen \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D \cap A_E }
{ =} { \Z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme ein Element aus
\mathl{\Z [\sqrt{-11}]}{,} das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \neq }{ 0,1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {quadratfrei}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{A_D/ \Z[\sqrt{D}]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} mit
\mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{\frac{1 + \sqrt{D} }{2}}{} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}] }
{ \subset }{R }
{ \subset }{A_D }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{} $A_D$ mit negativem $D$ sämtliche \definitionsverweis {Einheiten}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Für welche \definitionsverweis {quadratfreien Zahlen}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} {1 \mod 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[\sqrt{7}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element
\mathl{8+ 3 \sqrt{7}}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde ein quadratfreies $D$ derart, dass die natürliche Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}] }
{ \subseteq} { A_D }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale $\mathfrak q$ und $\mathfrak q'$ in $A_D$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal
\mathl{{\mathfrak p} \subset \Z[\sqrt{D}]}{} liegen. Was ist
\mathl{{\mathfrak p} \cap \Z}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der \definitionsverweis {Faserring}{}{} über $\Z/(p)$ nicht \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} zu jeder Primzahl $p$ einen $\Z/(p)$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{} des Faserringes über $p$ in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von Lemma 19.9 bzw. Satz 20.13.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $D \neq 0,1$ eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} und betrachte die quadratische Erweiterung
\mathl{\Z \subset \Z[\sqrt{D}]}{.} Es sei $p$ ein Primfaktor von $D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder $p$ noch $-p$ ein Quadratrest modulo $D/p$ ist. Dann ist $p$ irreduzibel in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{,} aber nicht prim.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[\sqrt{7}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Primideale}{}{} in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{29 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegen und zeige, dass es sich um \definitionsverweis {Hauptideale}{}{} handelt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[\sqrt{15}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Primideale}{}{} in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{17 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegen \zusatzklammer {man gebe Idealerzeuger an} {} {.} Handelt es sich um Hauptideale?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass $2$ im Ring
\mathl{{\mathbb Z}[\sqrt{5}]}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {prim}{}{} ist. Wie sieht es in $A_5$ aus?

}
{} {}