Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
mit der
$\Z$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathkor {} {1} {und} {\omega} {}
und einem von $0$ verschiedenen
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$. Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ s \mid \text{Es gibt } r + s \omega \in {\mathfrak a} \right\} }} { }
ein Ideal in $\Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{,} wobei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
bezeichnet. Zeige, dass
\mathl{N(f)}{} ein Vielfaches der
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von ${\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N ( {\mathfrak a} )
}
{ =} { \operatorname{GgT} ( { \left\{ N(f) \mid f \in {\mathfrak a} \right\} } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R=A_{D}}{} ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und
\mathl{f \in R}{} mit
\mathl{(f) \cap \Z =(N(f))}{.} Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass es
\zusatzklammer {mit der Notation des Beweises von
Satz 21.1} {} {}
eine $\Z$-Basis des Ideals $(f)$ gibt mit
\mathl{\beta=1}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ mit der Eigenschaft, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} von ${\mathfrak a}$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ derart gibt, das ${\mathfrak m}$ eine $\Z$-\definitionsverweis {Basis}{}{} der Form \mathkor {} {p} {und} {\alpha + p \omega} {} oder der Form \mathkor {} {p} {und} {\alpha + \omega} {} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A_{10}=\Z[\sqrt{10}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=10}{.} Bestimme gemäß
Satz 21.1
eine $\Z$-Basis des Ideals
\mathl{(3+4 \sqrt{10})}{} und bestimme damit die
\definitionsverweis {Norm des Ideals}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A_{-10}=\Z[\sqrt{-10}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-10}{.} Zeige, dass das Ideal
\mathl{(6+5 \sqrt{-10}, 3 - 2 \sqrt{10})}{} ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist und gebe einen Erzeuger an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_7
}
{ = }{ \Z[\sqrt{7}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme gemäß
Satz 21.1
eine $\Z$-Basis des
\definitionsverweis {Ideals}{}{}
$(3 + 2 \sqrt{7})$ und bestimme damit die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
des Ideals.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{D =2,3 \mod 4}{} eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und
\mathl{f=n+m \sqrt{D}}{.} Es sei $t$ der
\definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{}
von
\mathkor {} {n} {und} {m} {.}
Bestimme
\mathl{(f) \cap \Z}{} und $\beta$ im Sinne von
Satz 21.1.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
\definitionsverweis {Norm}{}{,}
dass jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f \neq 0}{,} eine Faktorisierung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{D\neq 0,1}{} eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ ( \omega)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
$A_D$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{{\mathfrak a} \cap \Z[\sqrt{D} ]}{} kein Hauptideal in $\Z[\sqrt{D} ]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere für den Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z[ \frac{-1+\sqrt{3} { \mathrm i} }{2}]
}
{ \cong} { \Z[Y]/(Y^2+Y+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Eisenstein-Zahlen}{}{}
die Primzahlen aus $\Z$, die in $R$ verzweigt sind, träge sind oder zerfallen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung
\mathl{{\mathbb Z}[ \sqrt{p}]}{.} Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $H$ eine (additive)
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{{\Z} a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $\R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige unter Verwendung des \definitionsverweis {Lemmas von Zorn}{}{,} dass es \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} in $R$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei von $0$ verschiedene
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von ${\mathfrak b}$ die Norm von ${\mathfrak a}$ teilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl, sei
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{} und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl $p$ ein Isomorphismus
\mathdisp {\Z[\sqrt{D}]/(p) \longrightarrow (A_D)/(p)} { }
vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei
\mathl{p=2}{} nicht sein muss.
}
{} {}
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