Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 9/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine Primzahl höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine ganze Zahl genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von in der Primfaktorzerlegung von gleich oder ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in diesem Diagramm (oder diesem) die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.
Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme in die Primfaktorzerlegung von . Begründe, warum die Faktoren prim sind.
Aufgabe Aufgabe 9.5 ändern
Es sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die komplexen Zahlen die Restklassendarstellung
besitzen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen die Restklassendarstellung
besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Zeige, dass der Restklassenring genau Elemente besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zu einem Ideal welches enthält, sei das zugehörige Ideal in . Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie
gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme mit Hilfe von Bemerkung 9.4 eine Quadratwurzel von in .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für die Zahlen zwischen und , ob die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde für alle Zehnerpotenzen eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt maximal?
Aufgabe (7 (1+1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen
Für einen Körper bezeichnet die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe
- ist ein endlicher Körper.
- .
- .
- .
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 9.15 ändern
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring
Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.
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