Lemma von Gauß (Z)/Eisenstein-Kriterium/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}p\in R$ ein Primelement.

Dann ist ${}p$ auch in ${}R[X]$ prim.

Beweis

Sei ${}ph=fg$.  Wir nehmen an, dass ${}p$ weder ${}f$ noch ${}g$ teilt. Dann teilt ${}p$ nicht alle Koeffizienten von ${}f$ und von ${}g$. Es sei ${}f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und ${}g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ und es seien ${}i_{0}$ bzw. ${}j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass ${}a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$) kein Vielfaches von ${}p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ${}p$). Wir betrachten den ${}(i_{0}+j_{0})$-ten Koeffizienten von ${}fg$, dieser ist

${}c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}\,.$

Die Summanden links sind Vielfache von ${}p$ aufgrund der Wahl von ${}i_{0}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von ${}p$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ${}p$ ist, muss auch der mittlere Summand ${}a_{i_{0}}b_{j_{0}}$ ein Vielfaches von ${}p$ sein. Da ${}p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Lemma von Gauß.

Lemma

Es sei ${}f\in \mathbb {Z} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom derart, dass in ${}\mathbb {Z} [X]$ nur Faktorzerlegungen ${}f=gh$ mit ${}g\in \mathbb {Z} {\text{ oder }}h\in \mathbb {Z}$ möglich sind.

Dann ist ${}f$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.

Beweis

 Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung ${}f=gh$ mit nicht-konstanten Polynomen ${}g,h\in \mathbb {Q} [X]$. Sowohl in ${}g$ als auch in ${}h$ kommen nur endlich viele Nenner aus ${}\mathbb {Z}$ vor, so dass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner ${}r\in \mathbb {Z}$ multiplizieren kann und somit eine Darstellung ${}rf={\tilde {g}}{\tilde {h}}$ mit ${}{\tilde {g}},{\tilde {h}}\in \mathbb {Z} [X]$ erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei ${}r=p_{1}{\cdots }p_{n}$ die Primfaktorzerlegung von ${}r$. Nach Fakt ist ${}p_{1}$ auch im Polynomring ${}\mathbb {Z} [X]$ prim. Da es das Produkt ${}{\tilde {g}}{\tilde {h}}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir ${}{\tilde {h}}$. Dann kann man mit ${}p_{1}$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form

${}r'f={\tilde {g}}{\tilde {h}}'\,.$

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

${}f=g'h'\,$

mit nicht konstanten Polynomen ${}h',g'\in \mathbb {Z} [X]$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$ ein Polynom. Es sei ${}p\in R$ ein Primelement mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt.

Dann besitzt ${}F$ keine Zerlegung ${}F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen ${}G,H\in R[X]$.

Beweis

 Es sei angenommen, dass es eine Zerlegung ${}F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen ${}G,H\in R[X]$ gebe, und sei ${}G=\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$ und ${}H=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$. Dann ist ${}c_{0}=a_{0}b_{0}$ und dies ist ein Vielfaches von ${}p$, aber nicht von ${}p^{2}$. Da ${}p$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir ${}a_{0}$, aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von ${}G$ ein Vielfaches von ${}p$, da sonst ${}G$ und damit auch ${}F$ ein Vielfaches von ${}p$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei ${}r$ der kleinste Index derart, dass ${}a_{r}$ kein Vielfaches von ${}p$ ist. Es ist ${}r\leq \operatorname {grad} \,(G)<\operatorname {grad} \,(F)$, da ${}H$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten ${}c_{r}$, für den

${}c_{r}=a_{0}b_{r}+a_{1}b_{r-1}+\cdots +a_{r-1}b_{1}+a_{r}b_{0}\,$

gilt. Hierbei sind ${}c_{r}$ und alle Summanden ${}a_{i}b_{r-i}$, ${}i=0,\ldots ,r-1$, Vielfache von ${}p$. Daher muss auch der letzte Summand ${}a_{r}b_{0}$ ein Vielfaches von ${}p$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da ${}p\nmid a_{r}$ und ${}p\nmid b_{0}$.

$\Box$

Das folgende Kriterium für die Irreduzibilität von Polynomen heißt Eisenstein-Kriterium.

Satz

Es sei ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt.

Dann ist ${}F$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

$\Box$