Lineare Abbildung/Untervektorräume/Kern/Einführung/Textabschnitt

Eine typische und wohl auch namensgebende Eigenschaft einer linearen Abbildung ist, dass sie Geraden wieder auf Geraden (oder Punkte) abbildet. Allgemeiner ist folgende Aussage.


Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
  3. Für einen Untervektorraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
  4. Insbesondere ist ein Untervektorraum von .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann nennt man

den Kern von .

Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von .

Zu einer -Matrix ist der Kern der durch gegebenen linearen Abbildung

einfach der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems


Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.


Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

Dann ist genau dann injektiv, wenn ist.

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
Es sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .