Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Aus ${}a\cdot b=0$ mit ${}a,b\in K$ folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$ und es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension ${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)=n-k_{1}$ bzw. ${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right)=n-k_{2}$. Dann ist

   ${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)\geq n-k_{1}-k_{2}\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
   2. Es gibt eine ${}\varphi$-invariante Fahne.
   3. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
   4. Das Minimalpolynom ${}\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.