Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}n$ ${}\sigma$ -endliche Maßräume ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben. Dann gibt es genau ein ( ${}\sigma$ -endliches) Maß ${}\mu$ auf der Produkt- ${}\sigma$ -Algebra ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$ , das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert
${}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$
besitzt.
Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ -endlicher Maßraum und es sei
$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

$h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

mit ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und alle ${}x\in M$ . Dann ist auch die Grenzfunktion ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , ein Orthonormalsystem. Dann ist für jeden Vektor ${}v\in V$ die Familie ${}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}$ , ${}i\in I$ , summierbar und es gilt
${}\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\leq \Vert {v}\Vert ^{2}\,.$