Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   ein äußeres Maß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Das Mengensystem aller Teilmengen ${}Z\subseteq M$, die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine ${}\sigma$-Algebra.
   2. Die Einschränkung von ${}{\tilde {\mu }}$ auf diese ${}\sigma$-Algebra ist ein Maß.
2. Für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$ gilt die Beziehung

   ${}(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$

3. Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   eine stetige Linearform.

   Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor ${}x\in V$ mit

   ${}\varphi (v)=\left\langle v,x\right\rangle \,$

   für alle

   ${}v\in V$.

Zur gelösten Aufgabe