Maßraum/Quadratintegrierbar/Hilbertraum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir argumentieren zuerst auf der Ebene von ${}{\mathcal {L}}^{2}(X)$. Zu quadratintegrierbaren Funktionen ${}f,g$ zeigt die Höldersche Abschätzung

${}\int _{X}f{\overline {g}}d\mu \leq \Vert {f}\Vert _{2}\cdot \Vert {g}\Vert _{2}\,,$

dass das angegebene Integral endlich ist. Mit Fakt folgt, dass sein Wert unabhängig von den gewählten Repräsentanten sind und eine Funktion auf ${}L^{2}(X)\times L^{2}(X)$ definiert. Eigenschaften des Integrals wie Fakt sichern, dass ein Skalarprodukt vorliegt. Die Vollständigkeit ergibt sich aus dem Satz von Fischer-Riesz.

Zur bewiesenen Aussage