Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beschränken uns auf den Fall von zwei ${}\sigma$-endlichen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\pi )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\rho )$. Es seien ${}M_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ bzw. ${}N_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ jeweils Ausschöpfungen der Räume durch Teilmengen mit endlichem Maß. Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt, da das Maß auf dem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem aller Quader festgelegt ist, und die Mengen ${}M_{n}\times N_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung des Produktraumes mit endlichem Maß bilden.

Zur Existenz. Wir ersetzen zuerst die Ausschöpfungen durch disjunkte Vereinigungen, indem wir ${}M_{n}\setminus M_{n-1}$ statt ${}M_{n}$ betrachten. Dann bilden die ${}M_{i}\times N_{j}$, ${}(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, eine disjunkte Vereinigung von ${}M\times N$. Da ein Maß nach Aufgabe durch die Einschränkungen auf einer abzählbaren disjunkten Vereinigung eindeutig bestimmt ist, genügt es, auf jedem ${}M_{i}\times N_{j}$ ein Maß zu konstruieren. D.h. wir können annehmen, dass die Maße ${}\pi$ und ${}\rho$ endlich sind.
Es sei ${}{\mathcal {H}}$ der Produkt-Präring auf ${}M\times N$. Nach Fakt gibt es auf diesem Mengensystem ein wohldefiniertes Prämaß, das auf den Quadern durch das Produkt der Seitenmaße gegeben ist.
Aufgrund von Fakt kann man dieses Prämaß zu einem Maß auf der ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ fortsetzen.

Zur bewiesenen Aussage