Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt

   ${}\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,$

2. Für eine messbare Funktion

   $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

   ist ${}f$ genau dann integrierbar auf ${}H$, wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

   ${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$

   wobei ${}J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials ${}D\varphi$ bezeichnet.
3. Es seien ${}U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}n$-Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

   ${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.$

   Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

   ${}\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

4. Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$. Dann ist

   ${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

Zur gelösten Aufgabe