Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit ${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist

   ${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

   ${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

3. Es sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

   eine stetige Funktion und sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu ${}f$ um die ${}x$-Achse. Dann besitzt ${}K$ das Volumen

   ${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$

4. Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$. Dann ist

   ${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

Zur gelösten Aufgabe