Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Liftungseigenschaften/Textabschnitt

Ein Zusammenhang auf einem Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow X$ erlaubt es unter Umständen, ähnlich wie bei Überlagerungen, zu einer gegebenen Abbildung

$\psi \colon Z\longrightarrow X$

in die Basismannigfaltigkeit ${}X$ eine eindeutige horizontale Liftung

${\tilde {\psi }}\colon Z\longrightarrow E$

anzugeben, sobald der Wert an einem einzigen Punkt vorgegeben ist. Dies gilt insbesondere für Intervalle ${}Z=I$ bzw. ${}Z=S^{1}$, also für geschlossene Wege.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}I$ ein Intervall,

$\gamma \colon I\longrightarrow X$

ein differenzierbarer Weg, ${}t\in I$ ein Punkt und ${}e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über ${}\gamma (t)$.

Dann gibt es ein offenes Teilintervall ${}J\subseteq I$, ${}t\in J$, und eine horizontale Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon J\longrightarrow E$

mit ${}{\tilde {\gamma }}(t)=e$.

Beweis

Dies beruht auf der Lösungstheorie für gewöhnliche Differentialgleichungen.

$\Box$

Diese Aussage ist in zweierlei Hinsicht unbefriedigend. Einerseits ist die Liftung nicht auf dem gesamten Intervall definiert, es liegt ein „Entweichungsphänomen“ vor (der Zusammenhang muss nicht „vollständig“ sein; die Entweichung hängt direkt mit dem entsprechenden Phänomen für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen zusammen).

Zweitens ist bei einem Weg - vorausgesetzt, die Liftung existiert auf dem ganzen Intervall - der Endpunkt der Liftung abhängig von dem Weg, nicht nur von seiner Homotopieklasse. Wenn man durch einen Zusammenhang auf einem Vektorbündel eine lineare Darstellung der Fundamentalgruppe der Basismannigfaltigkeit gewinnen möchte, so darf die Liftung aber nur von der Homotopieklasse abhängen. Dies erfordert, dass in einem infinitesimalen Sinn die Liftung eines „kleinen“ geschlossenen Weges zum Startpunkt zurückkehrt. Diese Eigenschaft wird durch den Begriff des lokal integrablen Zusammenhangs präzisiert. Man könnte auch von einer lokalen Trivialität des Zusammenhangs sprechen. Zwar ist jedes Vektorbündel lokal trivial, Entsprechendes muss aber nicht für einen Zusammenhang gelten (es handelt sich dabei um ein „Krümmungsphänomen“ des Zusammenhangs).

Satz

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}I$ ein Intervall,

$\gamma \colon I\longrightarrow X$

ein differenzierbarer Weg, ${}t\in I$ ein Punkt und ${}e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über ${}\gamma (t)$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt eine horizontale Liftung

   ${\tilde {\gamma }}_{e}={\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$

   mit ${}{\tilde {\gamma }}(t)=e$.

2. Für zwei Punkte ${}t_{0},t_{1}\in I$ ist die Abbildung

   $E_{\gamma (t_{0})}\longrightarrow E_{\gamma (t_{1})},\,e\longmapsto {\tilde {\gamma }}_{e}(t_{1}),$

   linear.

3. Es sei ${}\nabla$ lokal integrabel. Dann hängt die in (2) angegebene Abbildung nur von der Homotopieklasse von ${}\gamma$ ab.

Beweis

Siehe Storch/Wiebe, Band 4, 10.A und 10.B.

$\Box$

Die Liftung eines Weges ist also stets auf dem ganzen Intervall definiert. Die in (2) angegebene Abbildung nennt man Paralleltransport oder horizontaler Fasertransport.

Satz

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei, der lokal integrabel sei. Es sei ${}x\in X$ ein Punkt mit der Faser ${}E_{x}\cong \mathbb {R} ^{r}$.

Dann definiert der horizontale Fasertransport einen natürlichen Anti-Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(E_{x}\right)}\cong \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,\gamma \longmapsto (e\mapsto {\tilde {\gamma }}_{e}(1)).$

Diese Abbildung (bzw. die zugehörige Operation der Fundamentalgruppe auf der Faser) heißt auch die Monodromie.

Satz

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}x\in X$ ein Punkt. Es sei ${}r\in \mathbb {N}$.

Dann entsprechen sich die (Isomorphieklassen von) ${}(E,\nabla )$, wobei ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel vom Rang ${}r$ über ${}X$ und ${}\nabla$ ein linearer lokal integrabler Zusammenhang auf ${}E$ ist, und die (Isomorphieklassen von) Rechtsoperationen der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X,x)$ auf ${}{\mathbb {K} }^{r}$.

Auf einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit gibt es nur auf dem trivialen Vektorbündel einen (bis auf Isomorphie eindeutigen) linearen lokal integrablen Zusammenhang. Es gibt aber im Allgemeinen auf einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit auch nichttriviale Vektorbündel (man denke an den projektiven Raum). Umgekehrt kann es auf einem trivialen Vektorbündel über einem nicht einfach zusammenhängenden Grundraum nicht isomorphe lokal integrable Zusammenhänge geben.