Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikalbündel/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel auf einer ${}C^{2}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,TE\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   von Homomorphismen von Vektorbündeln über ${}E$ vor.

2. Für das Vertikalbündel liegt eine Bündelisomorphie ${}V\cong p^{*}E=E\oplus E$ vor.
3. Für jeden Punkt ${}e\in E$ liegt eine kurze exakte Sequenz von Vektorräumen

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,E_{p(e)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,T_{e}E\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,T_{p(e)}X\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen