Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei ${}P\in M$ und ${}P\in U$ ein Kartengebiet mit zwei Karten

$\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$

mit ${}V_{1}\subseteq H_{1}$ und ${}V_{2}\subseteq H_{2}$ offen in euklidischen Halbräumen ${}H_{1},H_{2}\cong \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}$. Die Kartenwechselabbildung ${}\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ ist ein Diffeomorphismus, und das heißt nach Aufgabe für jeden Punkt ${}Q\in V_{1}$, dass es offene Umgebungen ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ in ${}\mathbb {R} ^{n}$ gibt mit ${}Q\in W_{1}$ und eine diffeomorphe Ausdehnung

${\tilde {\varphi }}\colon W_{1}\longrightarrow W_{2}$

von ${}\varphi \!\mid _{W_{1}\cap H_{1}}$. Daher ist ${}{\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}$ offen in ${}W_{2}$.

Es sei nun ${}Q_{1}=\alpha _{1}(P)$ und ${}W_{1},W_{2},{\tilde {\varphi }}$ mit den eben erwähnten Eigenschaften gewählt. Wenn ${}Q_{1}$ kein Randpunkt in der ersten Karte ist, so ist ${}Q_{1}\in H_{1}^{+}\cap W_{1}$ eine offene Umgebung und damit ist ${}\alpha _{2}(P)\in {\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}$ eine offene Umgebung in ${}W_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Ferner ist ${}{\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}\subseteq H_{2}$. D.h. ${}\alpha _{2}(P)\in H_{2}$ besitzt eine in ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Umgebung innerhalb von ${}H_{2}$ und kann daher nach Aufgabe auch in der zweiten Karte kein Randpunkt sein.
(2). Sei ${}P\notin \partial M$ und sei ${}P\in U$ ein Kartengebiet mit dem Homöomorphismus

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}=H$ offen. Da ${}P$ kein Randpunkt ist, ist die erste Komponente von ${}\alpha (P)$ positiv und daher gibt es eine offene Menge ${}\alpha (P)\in V'\subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}=H_{+}$. Daher ist ${}U'=\alpha ^{-1}(V')$ eine offene Umgebung von ${}P$, die (nach Teil 1) den Rand nicht trifft.
(3). Für jeden Punkt ${}P\notin \partial M$ kann man wie in (2) ein Kartengebiet angeben, das disjunkt zum Rand ist und dessen Kartenbild eine offene Menge im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist. Daher liegt eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) vor.

Zur bewiesenen Aussage