Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und eine abgeschlossene Teilmenge. Dann heißt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension von , wenn es zu jedem Punkt eine Karte
gibt mit offen, offen und mit
Dies ist genau die Eigenschaft, die die Faser einer differenzierbaren Abbildung zwischen euklidischen Räumen in einem regulären Punkt aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen besitzt. D.h. solche Fasern sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von .
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension von .
Dann ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass die Inklusion eine differenzierbare Abbildung ist.
Die differenzierbare Struktur auf ist durch die eingeschränkten Karten
gegeben. Dass sich die Diffeomorphismuseigenschaft der Kartenwechsel auf die Einschränkungen überträgt ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Dass eine differenzierbare Abbildung vorliegt ergibt sich daraus, dass zu einem offenen Kartengebiet ein kommutatives Diagramm
gehört, wobei die vertikalen Pfeile offene und die horizontalen Pfeile abgeschlossene Einbettungen repräsentieren. Der obere Pfeil korrespondiert über die Kartenwechsel zu
also zur abgeschlossenen Einbettung eines Koordinatenunterraums, die natürlich differenzierbar ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension .
Dann ist für jeden Punkt die Tangentialabbildung
D.h. der Tangentialraum ist ein Untervektorraum der Dimension von .
Es sei und ein Kartengebiet mit der Karte
und mit der eingeschränkten Karte
Nach Fakt (2) haben wir ein kommutatives Diagramm
Die untere horizontale Abbildung ist dabei das totale Differential zur Inklusion , und diese ist die lineare Inklusion , also injektiv. Da die vertikalen Abbildungen bijektiv sind, ist auch die obere horizontale Abbildung injektiv.