Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann gibt es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ mit

   ${}\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$

   für alle

   ${}i=1,\ldots ,n$.
2. Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakt, ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei ${}h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von ${}P$. Dann ist ${}K_{B}$ ebenfalls kompakt, und es gilt

   ${}\lambda ^{n+1}{\left(K_{B}\right)}={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$

3. Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

   $\varphi \colon G\longrightarrow H$

   ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$. Es sei ${}T\subseteq H$ eine (in ${}\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge und es sei

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann ist ${}\varphi ^{-1}(T)$ ebenfalls kompakt und es gilt

   ${}\int _{T}f\,d\lambda ^{n}=\int _{\varphi ^{-1}(T)}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Zur gelösten Aufgabe