Matrix/Eigenwerte/0510/R/Basiswechsel und Diagonalisierung/Beispiel

Wir schließen an Beispiel an. Es gibt die beiden Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}$ zu den verschiedenen Eigenwerten ${}{\sqrt {5}}$ und ${}-{\sqrt {5}}$, sodass die Abbildung nach Fakt diagonalisierbar ist. Bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix

${\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&-{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}.$

beschrieben.

Die Übergangsmatrix von der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ zur durch ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ gegebenen Standardbasis ${}{\mathfrak {v}}$ ist einfach

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}\,.$

Die inverse Matrix dazu ist

${}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}{\begin{pmatrix}1&{\sqrt {5}}\\-1&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

Gemäß Fakt besteht die Beziehung

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&-{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {-{\sqrt {5}}}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$