Menge/Halbmetrik/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Halbmetrik, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Für ${}x=y$ ist ${}d{\left(x,y\right)}=0$.
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Wegen

${}0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)\,$

gilt dabei stets ${}d(x,y)\geq 0$, diese Semipositivität muss man also nicht eigens fordern.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Halbmetrik ${}d$. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

existiert.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei.

Dann ist ${}M$ ein topologischer Raum.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik ${}d$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Durch ${}x\sim y$, falls ${}d(x,y)=0$, ist eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ gegeben.
2. Die Halbmetrik induziert eine Metrik auf der Quotientenmenge ${}M/\sim$.
3. Die Quotientenabbildung ${}M\rightarrow M/\sim$ ist stetig.
4. Die offenen Mengen von ${}M$ sind genau die Urbilder der offenen Mengen des metrischen Raumes ${}M/\sim$.

Beweis

1. Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$, also ${}d(x,y)=0=d(y,z)$, folgt aus der Dreiecksabschätzung ${}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ sofort ${}d(x,z)=0$, also ${}x\sim z$.
2. Wir müssen zeigen, dass durch

   ${}{\tilde {d}}([x],[y]):=d(x,y)\,$

   eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien ${}x\sim x'$ und ${}y\sim y'$, also ${}d(x,x')=0$ und ${}d(y,y')=0$. Dann ist nach der Dreiecksabschätzung

   ${}d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)=d(x',y')\,$

   und ebenso ${}d(x',y')\leq d(x,y)$, also ${}d(x',y')=d(x,y)$, was die Wohldefiniertheit von ${}{\tilde {d}}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von ${}d$ übertragen sich direkt auf ${}{\tilde {d}}$. Aus ${}{\tilde {d}}([x],[y])=0$ folgt direkt ${}d(x,y)=0$, also ${}x\sim y$ und damit ${}[x]=[y]$.

3. Sei ${}U\subseteq M/\sim$ offen und sei ${}V$ das Urbild davon. Sei ${}x\in V$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left([x],\epsilon \right)}\subseteq U$ in ${}M/\sim$. Daraus folgt direkt ${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq V$, da ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ das Urbild von ${}U{\left([x],\epsilon \right)}$ ist.
4. Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in ${}M$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.

$\Box$

Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen Räumen, die mit Halbmetriken versehen sind, kann man wie im metrischen Fall durch ein ${}\epsilon -\delta$-Kriterium ausdrücken, siehe Aufgabe und Aufgabe.