Metrischer Raum/Nach K/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ für jedes ${}a\in {\overline {T}}\setminus T$ existiert. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Da diese Bildfolge in ${}{\mathbb {K} }$ ist, und ${}{\mathbb {K} }$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${}f$ gibt es ein ${}\delta >0$ derart, dass ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ ist für alle ${}x,x'\in T$ mit

${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta \,.$

Wegen der Konvergenz der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}d{\left(x_{n},a\right)}\leq \delta /2$ für alle ${}n\geq n_{0}$. Für alle ${}n,m\geq n_{0}$ gilt daher ${}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \delta$ und somit insgesamt

${}d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,.$

Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen ${}a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge ${}x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots$ betrachtet, die ebenfalls gegen ${}a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage