Mittelwertsatz der Differentialrechnung/Zweite Version/Regel von l'Hospital/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt auch zweiter Mittelwertsatz.

Satz

Es sei ${}b>a$ und seien

f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit

{}g'(x)\neq 0\,

für alle ${}x\in {]a,b[}$ .

Dann ist ${}g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$

Beweis

Die Aussage

{}g(a)\neq g(b)\,

folgt aus Fakt. Wir betrachten die Hilfsfunktion

{}h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.

Es ist

{}{\begin{aligned}h(a)&=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(a)\\&={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}\\&=f(b)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(b)\\&=h(b).\end{aligned}}

Also ist ${}h(a)=h(b)$ und Fakt liefert die Existenz eines ${}c\in {]a,b[}$ mit

{}h'(c)=0\,.

Umstellen ergibt die Behauptung.

\Box

Aus dem zweiten Mittelwertsatz erhält man den ersten Mittelwertsatz zurück, wenn man für ${}g$ die Identität nimmt.

Zur Berechnung von Grenzwerten einer Funktion, die als Quotient gegeben ist, ist die folgende Regel von l'Hospital hilfreich.

Korollar

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und ${}a\in I$ ein Punkt. Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

stetige Funktionen, die auf ${}I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit ${}f(a)=g(a)=0$ und mit ${}g'(x)\neq 0$ für ${}x\neq a$ . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

{}w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$

und sein Wert ist ebenfalls ${}w$ .

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Da ${}g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und ${}g(a)=0$ ist, besitzt auch ${}g$ nach Fakt außer ${}a$ keine Nullstelle. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}I\setminus \{a\}$ , die gegen ${}a$ konvergiert. Zu jedem ${}x_{n}$ gibt es nach Fakt, angewandt auf ${}I_{n}:=[x_{n},a]$ bzw. ${}[a,x_{n}]$ , ein ${}c_{n}$ (im Innern von ${}I_{n}$ ) mit

{}{\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.

Die Folge ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls gegen ${}a$ , sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen ${}w$ , und wegen ${}f(a)=g(a)=0$ bedeutet das, dass ${}{\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}$ gegen ${}w$ konvergiert.