Noetherscher Ring/Zahlbereich/Dedekindbereich/Einführung/Textabschnitt
Wir geben noch einen zweiten Beweis der vorstehenden Aussage.
Definition
Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
Korollar
Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring.
Beweis
Nach Fakt ist jedes von verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu , also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als -Moduln) endlich erzeugt.
Als kommutative Gruppe ist . Sei , . Dann ist das von erzeugte Hauptideal eine Untergruppe
Deshalb ist die Restklassengruppe endlich und wegen der natürlichen Surjektion ist auch der Restklassenring endlich.
Satz
Es sei ein Zahlbereich. Dann ist jedes von verschiedene Primideal von bereits ein maximales Ideal.
Beweis
Es sei ein Primideal in . Dann ist der Restklassenring nach Fakt ein Integritätsbereich und nach Fakt endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe bereits ein Körper, so dass nach Fakt ein maximales Ideal vorliegt.
Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.
Definition
Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.
Die Eigenschaft, dass jedes von verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form besitzen (wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal ). Man sagt auch, dass die Krulldimension des Ringes gleich ist.
Satz
Beweis
Die Normalität folgt aus Fakt und Fakt. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von verschiedenen Primideale folgt aus Fakt.