Noetherscher Ring/Zahlbereich/Dedekindbereich/Einführung/Textabschnitt


Wir geben noch einen zweiten Beweis der vorstehenden Aussage.





Nach Fakt ist jedes von verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu , also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als -Moduln) endlich erzeugt.



Zu einem Ideal in einem Zahlbereich

ist der Restklassenring endlich.

Nach Fakt gibt es ein , . Damit ist und damit hat man eine surjektive Abbildung

Der Ring links ist nach Fakt endlich (mit Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.

Als kommutative Gruppe ist . Sei , . Dann ist das von erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

Deshalb ist die Restklassengruppe endlich und wegen der natürlichen Surjektion ist auch der Restklassenring endlich.



Es sei ein Zahlbereich. Dann ist jedes von verschiedene Primideal von bereits ein maximales Ideal.

Es sei ein Primideal in . Dann ist der Restklassenring nach Fakt ein Integritätsbereich und nach Fakt endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe bereits ein Körper, sodass nach Fakt ein maximales Ideal vorliegt.



Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.


Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.

Die Eigenschaft, dass jedes von verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form besitzen (wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal ). Man sagt auch, dass die Krulldimension des Ringes gleich ist.



Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt.



Die Normalität folgt aus Fakt und Fakt. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von verschiedenen Primideale folgt aus Fakt.