Noetherscher Ring/Zahlbereich/Dedekindbereich/Einführung/Textabschnitt


Wir geben noch einen zweiten Beweis der vorstehenden Aussage.





Korollar  

Beweis  

Nach Fakt ist jedes von verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu , also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als -Moduln) endlich erzeugt.



Satz  

Zu einem Ideal in einem Zahlbereich

ist der Restklassenring endlich.

Beweis  

Nach Fakt gibt es ein , . Damit ist und damit hat man eine surjektive Abbildung

Der Ring links ist nach Fakt endlich (mit Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.

Als kommutative Gruppe ist . Sei , . Dann ist das von erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

Deshalb ist die Restklassengruppe endlich und wegen der natürlichen Surjektion ist auch der Restklassenring endlich.



Satz  

Es sei ein Zahlbereich. Dann ist jedes von verschiedene Primideal von bereits ein maximales Ideal.

Beweis  

Es sei ein Primideal in . Dann ist der Restklassenring nach Fakt ein Integritätsbereich und nach Fakt endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe bereits ein Körper, so dass nach Fakt ein maximales Ideal vorliegt.



Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.


Definition  

Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.

Die Eigenschaft, dass jedes von verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form besitzen (wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal ). Man sagt auch, dass die Krulldimension des Ringes gleich ist.



Korollar  

Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt.



Satz  

Beweis  

Die Normalität folgt aus Fakt und Fakt. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von verschiedenen Primideale folgt aus Fakt.