Die eine Richtung wurde bereits
in Fakt
bewiesen.
Es sei also umgekehrt
orientierbar
und ein
abzählbarer
orientierter Atlas
,
,
von
gegeben. Dabei ist
offen
und die
Koordinaten
definieren eine nullstellenfreie stetige
(sogar beliebig oft differenzierbare)
Volumenfom
auf
. Wir setzen
-
![{\displaystyle {}\omega _{i}=\alpha _{i}^{*}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a27937f5d17079d5009276fe006573839612d9)
und erhalten so eine nullstellenfreie Volumenform auf
, die wir außerhalb von
durch
fortsetzen.
Es sei nun
,
,
eine der Überdeckung
,
,
untergeordnete, stetig differenzierbare
Partition der Eins,
die es
nach Fakt
gibt. Insbesondere gibt es also für jedes
ein
derart, dass der
Träger
von
in
liegt. Daher sind die
stetige
-Differentialformen auf
. Wir setzen
-
![{\displaystyle {}\omega =\sum _{j\in J}h_{j}\omega _{i(j)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aead2d4b25ef6e854d1ede5380c5a7039ba2b874)
Dies ist für jeden Punkt
eine endliche Summe und somit eine wohldefinierte stetige
-Differentialform auf
. Für einen Punkt
und eine die Orientierung repräsentierende
Basis
von
ist
-
![{\displaystyle {}\omega (P;v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{j\in J}h_{j}(P)\omega _{i(j)}(P;v_{1},\ldots ,v_{n})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f436dab0e2a604bdd2072ef22c368bd1b5c6b17)
Dabei gibt es ein
mit
,
und für dieses
ist auch
,
da ja
liegt, so dass diese Form überall positiv ist.