Die eine Richtung wurde bereits
in Fakt
bewiesen.
Es sei also umgekehrt
orientierbar
und ein
abzählbarer
orientierter Atlas
,
,
von
gegeben. Dabei ist
offen
und die
Koordinaten
definieren eine nullstellenfreie stetige
(sogar beliebig oft differenzierbare)
Volumenfom
auf
. Wir setzen
-

und erhalten so eine nullstellenfreie Volumenform auf
, die wir außerhalb von
durch
fortsetzen.
Es sei nun
,
,
eine der Überdeckung
,
,
untergeordnete, stetig differenzierbare
Partition der Eins,
die es
nach Fakt
gibt. Insbesondere gibt es also für jedes
ein
derart, dass der
Träger
von
in
liegt. Daher sind die
stetige
-Differentialformen auf
. Wir setzen
-

Dies ist für jeden Punkt
eine endliche Summe und somit eine wohldefinierte stetige
-Differentialform auf
. Für einen Punkt
und eine die Orientierung repräsentierende
Basis
von
ist
-

Dabei gibt es ein
mit
,
und für dieses
ist auch
,
da ja
liegt, sodass diese Form überall positiv ist.