Polynomring/Veronese-Unterring/Monoidring/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ in ${}n$ Variablen und ${}s\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann ist der Veronese-Ring ${}R^{(s)}$ der Monoidring zum Monoid

${}M={\left\{m=(m_{1},\ldots ,m_{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}m_{i}\in \mathbb {N} s\right\}}\subseteq \mathbb {N} ^{n}\,.$

Wenn ${}K$ eine ${}s$-te primitive Einheitswurzel enthält, so ist dies zugleich der Invariantenring zur linearen Operation der ${}\mu _{s}{\left(K\right)}$ auf dem ${}K^{n}$ durch skalare Multiplikation.

Beweis

Dies folgt aus Fakt zur ${}D:=\mathbb {Z} /(s)$-Graduierung

$\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(s).$

Der Kern dieser Abbildung geschnitten mit ${}\mathbb {N} ^{n}$ bildet gerade die angegebene Menge. Der Zusatz folgt aus Fakt.

$\Box$

Die in der letzten Aussage angesprochene Gruppenoperation ist besonders einfach, sie wird linear durch Diagonalmatrizen mit konstanten Einträgen realisiert, die ${}s$-te Einheitswurzeln sind. Die Determinanten dieser Matrizen sind i.A. nicht ${}1$, d.h. es handelt sich nicht um eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe. Damit hängt der Umstand zusammen, dass die Veronese-Ringe typischerweise ziemlich viele Gleichungen benötigen, um sie als Restklassenring eines Polynomrings zu beschreiben.

Beispiel

Zum Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ und jedem ${}s\in \mathbb {N} _{+}$ ist der ${}s$-te Veronese-Ring isomorph zum Polynomring selbst. Es handelt sich einfach um den von ${}X^{s}$ über ${}K$ erzeugten Unterring.

Beispiel

Zum Polynomring ${}A=K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ und einem ${}s\in \mathbb {N} _{+}$ wird der ${}s$-te Veronese-Ring durch die Monome ${}X^{s},X^{s-1}Y,\ldots ,XY^{s-1},Y^{s}$ erzeugt. Bei ${}s=2$ handelt es sich um

$K[X^{2},XY,Y^{2}]\cong K[U,V,W]/(UW-V^{2}).$

Bei ${}s=3$ handelt es sich um

$K[X^{3},X^{2}Y,XY^{2},Y^{3}]\cong K[U,V,W,Z]/(UZ-VW,UW-V^{2},VZ-W^{2}).$

Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist ${}A^{(2)}$ im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente ${}U,V,W$ sind irreduzibel, aber nicht prim, und die Gleichung ${}UW=V^{2}$ bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.