Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$.

Die Summe der ersten ${}N$ natürlichen ${}d$-ten Potenzen ist

${}\sum _{k=0}^{N-1}k^{d}={\frac {1}{d+1}}\sum _{j=1}^{d+1}{\binom {d+1}{j}}B_{d+1-j}N^{j}\,,$

wobei die ${}B_{d+1-j}$ die Bernoulli-Zahlen sind.

Insbesondere handelt es sich um ein Polynom vom Grad ${}d+1$ in ${}N$.

Beweis

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe haben wir die funktionale Identität

${}\sum _{k=0}^{N-1}e^{kz}={\frac {e^{Nz-1}}{e^{z}-1}}={\frac {e^{Nz-1}}{z}}\cdot {\frac {z}{e^{z}-1}}\,,$

wobei die beiden Faktoren rechts Potenzreihen sind. Wir bestimmen den Wert der ${}d$-te Ableitung dieser Funktion an der Stelle ${}0$ auf zwei verschiedene Arten. Einerseits ist die ${}d$-te Ableitung von ${}e^{kz}$ gleich ${}k^{d}e^{z}$ mit dem Wert ${}k^{d}$ an der Stelle ${}0$. Die Summe dieser Terme für

${}k=0,\ldots ,N-1\,$

ist also der Ausdruck, für den wir die Formel beweisen möchten. Andererseits ist die ${}d$-Ableitung nach Aufgabe gleich

$\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\left({\frac {e^{Nz-1}}{z}}\right)}^{(\ell )}\cdot {\left({\frac {z}{e^{z}-1}}\right)}^{(d-\ell )}.$

Die Werte an der Stelle ${}0$ der Ableitungen der Faktoren lassen sich direkt aus den Potenzreihen ablesen. Rechts sind das die ${}B_{d-\ell }$. Links steht

${}{\begin{aligned}{\frac {e^{Nz-1}}{z}}&={\frac {{Nz}+{\frac {1}{2}}N^{2}z^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}z^{3}+\ldots }{z}}\\&=N+{\frac {1}{2}}N^{2}z+{\frac {1}{6}}N^{3}z^{2}+\ldots \\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(i+1)!}}N^{i+1}z^{i}\end{aligned}}$

und die ${}\ell$-te Ableitung davon ausgewertet an ${}0$ ist

${\frac {N^{\ell +1}}{\ell +1}}.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\left({\frac {e^{Nz-1}}{z}}\right)}^{(\ell )}(0)\cdot {\left({\frac {z}{e^{z}-1}}\right)}^{(d-\ell )}(0)&=\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\frac {N^{\ell +1}}{\ell +1}}B_{d-\ell }\\&=\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d+1}{\ell +1}}{\frac {N^{\ell +1}}{d+1}}B_{d-\ell }\\&={\frac {1}{d+1}}\sum _{j=1}^{d+1}{\binom {d+1}{j}}B_{d+1-j}N^{j}.\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Wir werten Fakt für kleine Exponenten ${}d$ unter Verwendung der Bernoulli-Zahlen aus. Für ${}d=1$ liefert die Formel

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k&=0+1+2+\cdots +(N-1)\\&={\frac {1}{2}}{\left({\binom {2}{1}}B_{1}N^{1}+B_{0}N^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{2}}N^{2}\\&={\frac {1}{2}}N(N-1),\end{aligned}}$

was die Formel von Gauß für die Summe der ersten Zahlen ist, siehe Aufgabe. Für ${}d=2$ liefert die Formel

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k^{2}&={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{3}{\binom {3}{j}}B_{3-j}N^{j}\\&=B_{2}N+B_{1}N^{2}+{\frac {1}{3}}B_{0}N^{3}\\&={\frac {1}{6}}N-{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{3}}N^{3}\\&={\frac {N(1-3N+2N^{2})}{6}}\\&={\frac {N(N-1)(2N-1))}{6}},\end{aligned}}$

vergleiche auch Aufgabe. Für ${}d=3$ liefert die Formel

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k^{3}&={\frac {1}{4}}\sum _{j=1}^{4}{\binom {4}{j}}B_{4-j}N^{j}\\&=B_{3}N+{\frac {3}{2}}B_{2}N^{2}+B_{1}N^{3}+{\frac {1}{4}}B_{0}N^{4}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}N^{2}-{\frac {1}{2}}N^{3}+{\frac {1}{4}}N^{4}\\&={\frac {1}{4}}N^{2}{\left(1-2N+N^{2}\right)}\\&=\left({\frac {N(N-1)}{2}}\right)^{2},\end{aligned}}$

vergleiche auch Aufgabe.