Quadratischer Zahlbereich/D mod 2,3/Kähler-Differential/Differente/Norm/Beispiel

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl ${}\neq 0,1$ mit

${}D=2,3\mod 4\,$

und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung ${}A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ besitzt. Der Modul der Kähler-Differentiale ist daher nach Fakt gleich

${}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }=A_{D}/(2x)dx\,,$

der Annullator ist also ${}2x$. Die Norm von ${}2x$ ist gleich

${}\vert {2x\cdot -2x}\vert =\vert {4x^{2}}\vert =\vert {4D}\vert \,,$

was nach Fakt der Betrag der Diskriminante von ${}A_{D}$ ist.