Wir wollen
den Gitterpunktsatz von Minkowski
auf das Gitter
anwenden, das in
Bemerkung
konstruiert wurde. Nach
Fakt
hat die Grundmasche des Gitters den Flächeninhalt .
Sei
.
Als Menge betrachten wir den Kreis um den Nullpunkt mit Radius . Der Kreis ist
kompakt,
zentralsymmetrisch
und
konvex,
und sein Flächeninhalt ist bekanntlich . Dies ist so groß wie das Vierfache des Flächeninhalts der Grundmasche des Gitters, der in
Fakt
berechnet wurde. Also gibt es einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt , und
mit
.
Die
Norm
von
(also das Quadrat des komplexen Betrags)
ist dann
,
wie behauptet.
Es sei nun
.
Für einen Punkt
(mit )
besitzt das Element
(aus )
die Norm
-
Die Bedingung
-
beschreibt somit vier gedrehte Hyperbeln, die jeweils eine Achse senkrecht schneiden. Diese Hyperbeln schließen das
(konvexe, kompakte, zentralsymmetrische)
Quadrat mit den Eckpunkten ein. Wir setzen
.
Dann hat das Quadrat mit diesen Eckpunkten den Flächeninhalt und enthält nach
dem Gitterpunktsatz von Minkowski
einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt . Dieser entspricht einem Element
, ,
und
-