Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Einführung/Textabschnitt
Sei
mit positivem . Wenn negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn nicht negativ ist, so ist
und damit
gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.
Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper
(und jeder angeordnete Ring )
die ganzen Zahlen enthält.
Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
gibt.
Gemäß Fakt sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in Fakt sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist. Da die Zahlengerade eine geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe Aufgabe.
In einem archimedisch angeordneten Körper
gibt es zu jedem Element eine eindeutig bestimmte ganze Zahl mit
Dass es ganze Zahlen mit
gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus Aufgabe. Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen und gibt, findet man auch die zu nächstliegenden ganzen Zahlen.
Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ist und egal wie klein ein positives ist, man kann stets mit hinreichend vielen die Zahl übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zu mit stets ein mit .
Wir betrachten . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit . Da positiv ist, gilt nach Fakt (6) auch .
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei .
Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .
Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei an eine sehr große und bei an eine sehr kleine Zahl.
Wir schreiben mit . Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl mit . Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und mit .
Dann gibt es zu jedem positiven eine natürliche Zahl mit
