Reelle Exponentialfunktion/Einführung/Ohne stetig/Textabschnitt

Die oben auf den rationalen Zahlen definierten Exponentialfunktionen besitzen eine Fortsetzung auf die reellen Zahlen, die entsprechend mit

Die Exponentialfunktionen für die Basen ${}b=10,{\frac {1}{2}}$ und ${}e$.

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

bezeichnet wird. Diese Fortsetzung ist stetig und es gelten die entsprechenden Eigenschaften. Der Nachweis der Existenz dieser Fortsetzung ist nicht einfach und wird hier nicht durchgeführt. Die Grundidee ist, eine beliebige reelle Zahl ${}x$ als Grenzwert einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von rationalen Zahlen darzustellen und dann

${}b^{x}:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\,$

zu definieren, wobei man zuerst zeigen muss, dass diese Folge konvergiert. Ferner muss man zeigen, dass dieser Wert unabhängig von der gewählten gegen ${}x$ konvergierenden Folge ist.

Definition

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Man kann zeigen, dass die entstehenden reellen Exponentialfunktionen stetig sind und dass sich die in Fakt gezeigten Eigenschaften auf die reellen Zahlen ausdehnen.

Lemma

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Satz

Es sei ${}b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion

$f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$

ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Die Homomorphieeigenschaft folgt direkt aus der Funktionalgleichung, die Injektivität folgt aus der der Monotonieeigenschaft in Zusammenhang mit Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}y\in \mathbb {R} _{+}$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen ${}n,m$ mit

${}b^{n}\leq y\leq b^{m}\,.$

Aufgrund des Zwischenwertsatzes, den wir wegen der in Fakt bewiesenen Stetigkeit der Exponentialfunktionen anwenden können, gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit

${}b^{x}=y\,,$

was die Surjektivität bedeutet.

$\Box$

Eine besonders wichtige Exponentialfunktion ergibt sich, wenn man als Basis die eulersche Zahl ${}e$ nimmt, die wir als

${}e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

eingeführt haben. In Bemerkung haben wir erwähnt, dass diese Zahl mit

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$

übereinstimmt. Für diese Exponentialfunktion gibt es ebenfalls eine weitere Darstellung, die sich an dieser Reihe orientiert, die Darstellung als Potenzreihe. Auch diese Übereinstimmung können wir hier nicht beweisen.

Satz

Für die Exponentialfunktion zur Basis ${}e$ gilt die Darstellung

${}e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\,.$

Eine Besonderheit dieser Funktion ist, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Steigung der Tangenten an einem Punkt des Graphen stimmt also stets mit dem Funktionswert überein.