Reelle Reihen/Einführung/Textabschnitt
Es sei eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls
und nennt ihn die Summe der Reihe.
Alle Begriffe für Folgen übertragen sich auf Reihen, indem man eine Reihe als Folge der Partialsummen auffasst. Wie schon bei Folgen kann es sein, dass die Summation nicht bei , sondern bei einer anderen Zahl beginnt.
Wir wollen die Reihe
berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die -te Partialsumme angeben. Es ist
Diese Folge konvergiert gegen , sodass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich ist.
Es seien
konvergente Reihen von reellen Zahlen mit den Summen und . Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Reihe mit ist ebenfalls konvergent mit der Summe .
- Für ist auch die Reihe mit konvergent mit der Summe .
Beweis
Es sei
eine Reihe von reellen Zahlen.
Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt.
Beweis
Es ist also eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Diese Bedingung ist nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe zeigt.
Die harmonische Reihe ist die Reihe
Diese Reihe divergiert: Für die Zahlen ist
Daher ist
Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.
Die folgende Aussage heißt Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
Es sei eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.
Dann konvergiert die Reihe .
Wir setzen
Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes gilt wegen die Beziehung
d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen
Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Fakt konvergent. Wegen und stimmen die Grenzwerte überein.