Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Wurzeln/Textabschnitt
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen sichert auch die Existenz einer eindeutig bestimmten Wurzel für eine nichtnegative reelle Zahl. Für Quadratwurzeln folgt dies auch aus Fakt (1).
Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl und jedem
gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl mit
Wir betrachten den Dedekindschen Schnitt mit
und
Die Eigenschaften eines Dedekindschen Schnittes beruhen hierbei darauf, dass eine totale Ordnung ist, auf dem Archimedes-Axiom, auf Fakt (8) und auf dem binomischen Lehrsatz, siehe Aufgabe. Nach Fakt gibt es somit ein mit
Wir behaupten
Dies ergibt sich, da die beiden Annahmen bzw. jeweils zu einem Widerspruch führen.
Zu einer nichtnegativen reellen Zahl und bezeichnet man mit diejenige nichtnegative reelle Zahl, deren -te Potenz gleich ist.
Statt schreibt man auch . Auf der eindeutigen Existenz von Wurzeln aus positiven reellen Zahlen beruht auch das Potenzprinzip, mit dem man in der Regel die Gleichheit von Wurzelausdrücken begründet: Zwei positive Zahlen stimmen bereits dann überein, wenn eine gewisse gleichnamige Potenz von ihnen übereinstimmt. Dieses Prinzip findet im Beweis der nächsten Aussage Verwendung.
Es seien positive reelle Zahlen und . Dann gelten die folgenden Aussagen.
- Es ist
- Es ist
- Es ist
Wegen der Eindeutigkeit der Wurzeln stimmen zwei positive reellen Zahlen überein, sobald eine gewisse Potenz davon übereinstimmt. Damit kann man die Aussagen auf die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten zurückführen.