Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Zu einem Skalarprodukt in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum gibt es nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsvefahren eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$. Eine solche Orthonormalbasis definiert eine bijektive lineare Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

die eine Isometrie ist. Insbesondere ist eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ genau dann offen, wenn die entsprechende Menge ${}\psi ^{-1}(U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen ist.
Die beiden vorgegebenen Skalarprodukte entsprechen zwei bijektiven linearen Abbildungen ${}\psi _{1}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V$ und ${}\psi _{2}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V$, wobei die Standardbasis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ jeweils auf eine Orthonormalbasis bezüglich des jeweiligen Skalarprodukts abgebildet wird. Diese Abbildungen sind Isometrien, sodass eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ genau dann bezüglich des Skalarproduktes ${}\left\langle -,-\right\rangle _{i}$ offen ist, wenn dass Urbild ${}(\psi _{i})^{-1}(U)$ offen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezüglich der euklidischen Standardmetrik ist.
Die Verknüpfungen

$\psi _{2}\circ \psi _{1}^{-1}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

und

$\psi _{1}\circ \psi _{2}^{-1}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

sind lineare Abbildungen und nach Fakt stetig, sodass sich die offenen Mengen entsprechen: Ist nämlich ${}U\subseteq V$ offen bezüglich der ersten Metrik, so ist ${}\psi _{1}^{-1}(U)$ offen und damit ist wegen der Stetigkeit von ${}\psi _{1}^{-1}\circ \psi _{2}$ auch

${}(\psi _{1}^{-1}\circ \psi _{2})^{-1}{\left(\psi _{1}^{-1}(U)\right)}=\psi _{2}^{-1}{\left(\psi _{1}(\psi _{1}^{-1}(U)\right)}=\psi _{2}^{-1}(U)\,$

offen, sodass ${}U$ auch bezüglich der zweiten Metrik offen ist.

Zur bewiesenen Aussage