Wir betrachten die Funktion
-
die bekanntlich in diesem Intervall
streng wachsend
ist. Für ein Teilintervall
ist daher
das
Minimum
und
das
Maximum
der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei
eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall
in die
gleichlangen Teilintervalle
-
der Länge
. Das
Treppenintegral
zu der zugehörigen
unteren Treppenfunktionen
ist
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left(i{\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3fed70d4badcc255803fe3671b386c7277cdc5)
(siehe
Aufgabe
für die Formel für die Summe der Quadrate).
Da die beiden
Folgen
und
gegen
konvergieren,
ist der
Limes
für
von diesen Treppenintegralen gleich
. Das
Treppenintegral
zu der zugehörigen
oberen Treppenfunktion
ist
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left((i+1){\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}(i+1)^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{j=1}^{n}j^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965b39d6f191970c2af7646e38cfeac2e5677b9a)
Der Limes davon ist wieder
. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach
Fakt
überhaupt das
Ober-
und das
Unterintegral
übereinstimmen, so dass die Funktion
Riemann-integrierbar
ist und das
bestimmte Integral
-
![{\displaystyle {}\int _{0}^{1}t^{2}\,dt={\frac {1}{3}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed28943a20a278133705652a3ed7db3ca8379515)
ist.