Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Wege/Textabschnitt


Es sei eine riemannsche Fläche. Es sei eine holomorphe Differentialform auf mit der zugehörigen Kohomologieklasse bezüglich der exakten Garbensequenz

(siehe Fakt).

Dann ist für jeden geschlossenen Weg

Es sei eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf besitzt eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion mit auf . Die zugehörige Kohomologieklasse in wird durch den Čech-Kozykel auf beschrieben. Es sei eine topologische Kette um und es seien für . Wir setzen ferner . Es sei der Teilweg, der von nach führt und somit in verläuft. Dann ist insgesamt


Die Wegintegrale hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus Fakt und für geschlossene Wege auch aus Fakt in Verbindung mit Fakt  (6).



Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und eine holomorphe Differentialform auf .

Dann ist genau dann exakt, wenn für alle geschlossenen Wege in die Gleichheit

gilt.

Es sei bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz

(siehe Fakt). Die Exaktheit von bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion auf mit gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu

Wegen Fakt folgt daher die Aussage aus Fakt.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und eine holomorphe Differentialform auf .

Dann ist genau dann trivial, wenn für alle geschlossenen Wege in die Gleichheit

gilt.

Dies folgt aus Fakt, da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

von den globalen holomorphen Differentialformen in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe nach .

Dies folgt aus Fakt und Fakt unter Verwendung der Injektivität von .


Das Bild der zu gehörenden Periodenabbildung nennen wir die Periodengruppe zu , also

Es handelt sich um eine Untergruppe von . Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.