Es sei
eine
riemannsche Fläche.
Es sei
eine
holomorphe Differentialform
auf
mit der zugehörigen Kohomologieklasse
bezüglich der exakten Garbensequenz
-
(siehe
Fakt).
Dann ist für jeden
geschlossenen Weg
-
![{\displaystyle {}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }\delta (\omega )\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7780a2c726bea34e53f04f502c4cd6760b3205a7)
Es sei
eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf
besitzt
eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion
mit
auf
. Die zugehörige Kohomologieklasse in
wird durch den Čech-Kozykel
auf
beschrieben. Es sei
eine
topologische Kette
um
und es seien
für
.
Wir setzen ferner
.
Es sei
der Teilweg, der von
nach
führt und somit in
verläuft. Dann ist insgesamt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ed02ca2c706f58f74098df8d0d47637980b9a9)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Die Wegintegrale
hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus
Fakt
und für geschlossene Wege auch aus
Fakt
in Verbindung mit
Fakt (6).
Es sei
bezüglich der kurzen
exakten Garbensequenz
-
(siehe
Fakt).
Die Exaktheit von
bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion
auf
mit
gibt. Dies ist aufgrund der
langen Kohomologiesequenz
äquivalent zu
-
![{\displaystyle {}\delta (\omega )=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240ed00ca89f6740beb9c6b2cdc78ac49678ca5f)
Wegen
Fakt
folgt daher die Aussage aus
Fakt.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Dies folgt aus
Fakt,
da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Dies folgt aus
Fakt
und
Fakt
unter Verwendung der Injektivität von
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Das Bild der zu
gehörenden Periodenabbildung
nennen wir die Periodengruppe zu
, also
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Per} (\omega )={\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5dbcc7f7d92ece8c8774004a334b7ccaec3311)
Es handelt sich um eine Untergruppe von
. Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.