Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Wege/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse ${}\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Fakt).

Dann ist für jeden geschlossenen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }\delta (\omega )\,.$

Beweis

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf ${}U_{i}$ besitzt ${}\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion ${}h_{i}$ mit ${}dh_{i}=\omega$ auf ${}U_{i}$. Die zugehörige Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ wird durch den Čech-Kozykel ${}f_{ij}=h_{j}-h_{i}$ auf ${}U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$ beschrieben. Es sei ${}V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n-1},V_{n}=V_{1}$ eine topologische Kette um ${}\gamma$ und es seien ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ für ${}k=1,\ldots ,n-1$. Wir setzen ferner ${}P_{0}=\gamma (0)=\gamma (1)=P_{n}$. Es sei ${}\gamma _{k}$ der Teilweg, der von ${}P_{k-1}$ nach ${}P_{k}$ führt und somit in ${}U_{\alpha (k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}$

$\Box$

Die Wegintegrale ${}\int _{\gamma }\omega$ hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus Fakt und für geschlossene Wege auch aus Fakt in Verbindung mit Fakt  (6).

Korollar

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist ${}\omega$ genau dann exakt, wenn für alle geschlossenen Wege ${}\gamma$ in ${}X$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =0\,$

gilt.

Beweis

Es sei ${}c=\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Fakt). Die Exaktheit von ${}\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}X$ mit ${}\omega =dh$ gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu

${}\delta (\omega )=0\,.$

Wegen Fakt folgt daher die Aussage aus Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist ${}\omega$ genau dann trivial, wenn für alle geschlossenen Wege ${}\gamma$ in ${}X$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =0\,$

gilt.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {K} }\right)},\,\omega \longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)},$

von den globalen holomorphen Differentialformen in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X)$ nach ${}{\mathbb {K} }$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt unter Verwendung der Injektivität von ${}\delta \colon H^{0}(X,\Omega _{X})\rightarrow H^{1}(X,{\mathbb {C} })$.

$\Box$

Das Bild der zu ${}\omega$ gehörenden Periodenabbildung ${}\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega$ nennen wir die Periodengruppe zu ${}\omega$, also

${}\operatorname {Per} (\omega )={\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,.$

Es handelt sich um eine Untergruppe von ${}{\mathbb {C} }$. Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.