Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Hauptdivisor/Periode/Fakt/Beweis

Beweis

Bei konstant ist die Aussage klar, sei also nicht konstant. Wir fassen im Sinne von Fakt als eine endliche holomorphe Abbildung auf. Die Anzahl von ist die Blätterzahl von und nach Fakt auch der Grad der Körpererweiterung . Nach Fakt besteht die Faser über aus den Punkten und die Faser über aus den Punkten , wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wir fixieren einen Basisweg in von nach , der außer eventuell am Rand durch keinen Verzweigungsbildpunkt verläuft. Dieser Weg liftet zu Wegen , wobei in beginnen soll. In der Wegfamilie bestehend aus allen und tritt jeder Punkt genauso oft als Anfangspunkt und als Endpunkt auf (der Punkt tritt so oft auf, wie es die Verzweigungsordnung angibt). Es liegt also ein Zykel vor bzw. man kann die Wege in eine Reihenfolge bringen, dass ein geschlossener Weg entsteht. Damit ist

Nach Fakt ist

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass nach Fakt auf der projektiven Geraden die globale holomorphe Differentialform trivial ist. Also ist