Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass
und
ist. Es sei
die durch das totale Differential gegebene bijektive
lineare Abbildung
mit der linearen Umkehrabbildung . Wir betrachten die Gesamtabbildung
-
Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist
.
Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für , da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass
eine stetig differenzierbare Abbildung mit
ist, deren totales Differential in die Identität ist. Wir werden dennoch von
und
sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.
Sei
fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung
-
Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt
ist genau dann ein
Fixpunkt
von , also ein Punkt mit
,
wenn
ist, d.h. wenn ein Urbild von unter ist. Die Abbildungen sind selbst stetig differenzierbar und es gilt
.
Wir möchten den
Banachschen Fixpunktsatz
auf anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von unter nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von und wegen
-
gibt es ein
, ,
derart, dass für alle
die Abschätzung
-
gilt. Für jedes
gilt daher nach der
Mittelwertabschätzung
die Abschätzung
Für
und
gilt
Für jedes
liegt also eine Abbildung
-
vor.
Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der
Mittelwertabschätzung
gilt für zwei Punkte
die Abschätzung
-
sodass eine
stark kontrahierende Abbildung
ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel
vollständig
sind
(siehe
Aufgabe
und
Aufgabe),
besitzt jede Abbildung aufgrund des
Banachschen Fixpunktsatzes
genau einen Fixpunkt aus , den wir mit bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist
.
Zu
gehört das eindeutige Urbild
zur offenen Kugel , wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen
und ,
wobei aufgrund der Stetigkeit von offen ist. Die eingeschränkte Abbildung
-
ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung
-
die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.
Wir zeigen zuerst, dass
Lipschitz-stetig
ist mit der
Lipschitz-Konstanten
. Seien
gegeben mit den eindeutigen Elementen
mit
und .
Es gelten die Abschätzungen
wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich
-
Aufgrund von
Fakt
ist auch differenzierbar und es gilt die Formel
-
Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von ablesen, da stetig ist, da das totale Differential von nach Voraussetzung stetig von
abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.