Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ der Kern des totalen Differentials ${}\left(D\varphi \right)_{a}$. Aufgrund der vorausgesetzten Surjektivität und der Dimensionsformel ist dies ein ${}(n-m)$-dimensionaler Untervektorraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$. Durch einen Basiswechsel können wir annehmen, dass ${}K$ von den ersten ${}n-m$ Standardvektoren ${}e_{1},\ldots ,e_{n-m}$ erzeugt ist (Der Unterraum ${}\langle e_{n-m+1},\ldots ,e_{n}\rangle$ wird dann bijektiv auf ${}\mathbb {R} ^{m}$ abgebildet). Es sei

$p\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m}=K,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n-m})$

die lineare Projektion auf ${}K$ und es sei

$p\times \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n-m},\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

die zusammengesetzte Abbildung. Diese ist selbst stetig differenzierbar und das totale Differential davon im Punkt ${}a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist bijektiv, sodass wir darauf den Satz über die Umkehrabbildung anwenden können. Es gibt also offene Umgebungen ${}a\in U_{1}$, ${}U_{1}\subseteq G$, und ${}(p(a),\varphi (a))\in U_{2}$, ${}U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m}$, derart, dass die eingeschränkte Abbildung

$(p\times \varphi ){|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

bijektiv ist mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung. Für die offene Menge ${}U_{2}$ gibt es offene Mengen

$(a_{1},\ldots ,a_{n-m})\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi (a)=(b_{1},\ldots ,b_{m})\in V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$

mit

${}V\times V'\subseteq U_{2}\,.$

Wir können den Diffeomorphismus ${}(p\times \varphi ){|}_{U_{1}}$ auf das (offene) Urbild ${}W$ von ${}V\times V'$ einschränken. Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}G&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {R} ^{m}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

bzw. die Einschränkung davon

${\begin{matrix}W&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V\times V'&\\&\searrow &\downarrow &\\&&V'&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Die Faser über ${}b=\varphi (a)$ ist ${}V\times \{(b_{1},\ldots ,b_{m})\}$. Diese Menge steht über die horizontale Abbildung ${}p\times \varphi$ in Bijektion mit der Faser von ${}\varphi$ über ${}b$, also mit ${}Z\cap W$.
Wir betrachten nun die Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W,\,(x_{1},\ldots ,x_{n-m})\longmapsto (p\times \varphi )^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m}).$

Es ist

${}{\begin{aligned}\varphi (\psi (x_{1},\ldots ,x_{n-m}))&=\varphi ((p\times \varphi )^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m}))\\&=(b_{1},\ldots ,b_{m}),\end{aligned}}$

sodass das Bild von ${}\psi$ in der Tat in ${}Z\cap W$ landet. Die Injektivität von ${}\psi$ ist klar. Es sei nun ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Z\cap W$. Dann ist

${}\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(b_{1},\ldots ,b_{m})\,$

und daher ist

${}(p\times \varphi )(x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m})\,.$

Also ist

${}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n-m})=(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$

im Bild von ${}\psi$.
Die Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

ist nach Konstruktion stetig differenzierbar und das totale Differential ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ injektiv, da ${}\psi$ die Hintereinanderschaltung einer affin-linearen Injektion und eines Diffeomorphismus ist. Da ${}\psi (V)$ in der Faser von ${}\varphi$ über ${}b$ liegt, ist ${}\varphi \circ \psi =b$ konstant. Nach der Kettenregel ist

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

Zur bewiesenen Aussage