Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit

Einleitung

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Der Satz zur Quasinormierbarkeit von topologischen Vektorräumen   stellt einen Zusammenhang zwischen Quasinormierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie  . Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung   exisitiert. Insgesamt ist Satz über Quasinormierbarkeit zusammen mit dem Satz zur p-Normierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen Quasinormen (siehe Köthe[1]).

Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit

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Jeder topologische Vektorraum ist genau dann  -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:

 .

Satz: Quasinormierbarkeit

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Die Topologie eines topologischen Vektorraums   kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn   lokalbeschränkt ist.

Der Beweis der Äquivalenz gliedert sich in zwei Beweisteile der folgenden Implikationen

  • (Beweisteil 1) Gegeben ist ein lokalbeschränkter topologischer Raum   und man zeigt, dass die Topologie   durch eine Quasinorm   topologisiert werden kann.
  • (Beweisteil 2) Gegeben ist ein quasinormierbarer topologischer Raum   mit Quasinorm   und   und man zeigt, dass die Topologie   lokalbeschränkt ist.

Beweisteil 1:

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"' "': Sei   ein lokalbeschränkter topologischer Raum und   das Minkowski-Funktional einer kreisförmigen und beschränkten Nullumgebung  , die in einem lokalbeschränkten Raum existiert. Nun sind die Eigenschaften einer Quasinorm für das definierte Minkowski-Funktional zu zeigen.

Beweisschritt 1.1 - Nullumgebungsbasis

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  ist eine Nullumgebungsbasis der Topologie. Die Nichtnegativität der Quasinorm und die Homogenität ergeben sich aus der Definition des Minkowski-Funktionals (siehe Topologisierungslemma für Algebren), wobei die Homogenität in   ist eine unmittelbare Folgerung aus der Kreisförmigkeit von   ist.

Beweisschritt 1.2 - Hausdorff-Eigenschaft

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Die Eigenschaft     einer Quasinorm ergibt sich aus der Hausdorff-Eigenschaft von  .

Beweisschritt 1.3 - Stetigkeit der Addition

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Mit der Stetigkeit der Addition kann man für die gegebene beschränkte Nullumgebung   eine Nullumgebung   finden mit

  (siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweisschritt 1.4 - Stetigkeit der Addition

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Da   eine Nullumgebungsbasis der Topologie ist, kann man für diese   ein   finden, mit  . Über Einsetzung in die Mengeninklusion erhält man:

 

Beweisschritt 1.5 - Konkavitätsungleichung

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Damit gilt für  ,   mit   beliebig:

 

Da   beliebig gewählt werden kann, folgt die Eigenschaft   aus der Definition der Quasinorm.

Beweisteil 2:

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"' "': Nach Voraussetzung wird die Toplogie   nun durch eine Quasinorm   erzeugt. Damit bilden die  -Kugeln der Quasinorm

 

eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen und absorbierenden Mengen.

Beweis 2.1 - Stetigkeit der Skalarmultiplikation

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Die Eigenschaft   aus Definition der Quasinorm liefert die Stetigkeit der Skalarmultiplikation (siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweis 2.2 - Lokalbeschränkheit

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  ist eine beschränkte Nullumgebung, denn es gilt

 

Beweis 2.2 - Hausdorff-Eigenschaft

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Aus   in der Definition der Quasinorm folgt, dass die Topologie Hausdorff'sch ist.

Beweis 2.3 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung

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Mit der Stetigkeitskonstante der Addition   erhält man für   - also   und   für beliebige  :

 

Beweis 2.4 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung

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Die obige Ungleichung liefert nun die gesuchte Mengeninklusion für den Nachweis der Stetigkeit der Addition

 

Da die Inklusion für alle   gilt, erhält man ebenfalls:

 

Also ist die Addition stetig auf  .  

Bemerkung: Lokalbeschränkt - Lokalkonvex

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Für lokalbeschränkte Räume wird folgende Verallgemeinerung des Begriffs "`konvex"' von Bedeutung sein (siehe Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen).

Siehe auch

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  1. Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.