Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit
Einleitung
BearbeitenDer Satz zur Quasinormierbarkeit von topologischen Vektorräumen stellt einen Zusammenhang zwischen Quasinormierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie . Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung exisitiert. Insgesamt ist Satz über Quasinormierbarkeit zusammen mit dem Satz zur p-Normierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen Quasinormen (siehe Köthe[1]).
Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit
BearbeitenJeder topologische Vektorraum ist genau dann -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:
- .
Satz: Quasinormierbarkeit
BearbeitenDie Topologie eines topologischen Vektorraums kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn lokalbeschränkt ist.
Beweis
BearbeitenDer Beweis der Äquivalenz gliedert sich in zwei Beweisteile der folgenden Implikationen
- (Beweisteil 1) Gegeben ist ein lokalbeschränkter topologischer Raum und man zeigt, dass die Topologie durch eine Quasinorm topologisiert werden kann.
- (Beweisteil 2) Gegeben ist ein quasinormierbarer topologischer Raum mit Quasinorm und und man zeigt, dass die Topologie lokalbeschränkt ist.
Beweisteil 1:
Bearbeiten"' "': Sei ein lokalbeschränkter topologischer Raum und das Minkowski-Funktional einer kreisförmigen und beschränkten Nullumgebung , die in einem lokalbeschränkten Raum existiert. Nun sind die Eigenschaften einer Quasinorm für das definierte Minkowski-Funktional zu zeigen.
Beweisschritt 1.1 - Nullumgebungsbasis
Bearbeitenist eine Nullumgebungsbasis der Topologie. Die Nichtnegativität der Quasinorm und die Homogenität ergeben sich aus der Definition des Minkowski-Funktionals (siehe Topologisierungslemma für Algebren), wobei die Homogenität in ist eine unmittelbare Folgerung aus der Kreisförmigkeit von ist.
Beweisschritt 1.2 - Hausdorff-Eigenschaft
BearbeitenDie Eigenschaft einer Quasinorm ergibt sich aus der Hausdorff-Eigenschaft von .
Beweisschritt 1.3 - Stetigkeit der Addition
BearbeitenMit der Stetigkeit der Addition kann man für die gegebene beschränkte Nullumgebung eine Nullumgebung finden mit
- (siehe Topologisierungslemma für Algebren).
Beweisschritt 1.4 - Stetigkeit der Addition
BearbeitenDa eine Nullumgebungsbasis der Topologie ist, kann man für diese ein finden, mit . Über Einsetzung in die Mengeninklusion erhält man:
Beweisschritt 1.5 - Konkavitätsungleichung
BearbeitenDamit gilt für , mit beliebig:
Da beliebig gewählt werden kann, folgt die Eigenschaft aus der Definition der Quasinorm.
Beweisteil 2:
Bearbeiten"' "': Nach Voraussetzung wird die Toplogie nun durch eine Quasinorm erzeugt. Damit bilden die -Kugeln der Quasinorm
eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen und absorbierenden Mengen.
Beweis 2.1 - Stetigkeit der Skalarmultiplikation
BearbeitenDie Eigenschaft aus Definition der Quasinorm liefert die Stetigkeit der Skalarmultiplikation (siehe Topologisierungslemma für Algebren).
Beweis 2.2 - Lokalbeschränkheit
Bearbeitenist eine beschränkte Nullumgebung, denn es gilt
Beweis 2.2 - Hausdorff-Eigenschaft
BearbeitenAus in der Definition der Quasinorm folgt, dass die Topologie Hausdorff'sch ist.
Beweis 2.3 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung
BearbeitenMit der Stetigkeitskonstante der Addition erhält man für - also und für beliebige :
Beweis 2.4 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung
BearbeitenDie obige Ungleichung liefert nun die gesuchte Mengeninklusion für den Nachweis der Stetigkeit der Addition
Da die Inklusion für alle gilt, erhält man ebenfalls:
Also ist die Addition stetig auf .
Bemerkung: Lokalbeschränkt - Lokalkonvex
BearbeitenFür lokalbeschränkte Räume wird folgende Verallgemeinerung des Begriffs "`konvex"' von Bedeutung sein (siehe Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen).
Siehe auch
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- ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.