Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Glattheit/Einführung/Textabschnitt


Zu

ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsenebenen, also zweidimensional. Die Jacobimatrix ist

Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. Aber auch in einem Punkt mit (unabhängig vom Wert von ) liegt die Nullmatrix vor und der Punkt ist singulär. Wenn hingegen ist und die beiden anderen Koordinaten nicht sind, so ist die Jacobimatrix gleich und hat den Rang , ein solcher Punkt ist also glatt.


Das vorstehende Beispiel kann man auch mit dem Satz über implizite Abbildungen behandeln, doch schon für das folgende brauchen wir das Glattheitskonzept, bei dem die Jacobimatrix nicht unbedingt surjektiv sein muss.


Zu

ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsen, also das eindimensionale Achsenkreuz im Raum. Die Jacobimatrix ist

Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. In einem Punkt mit und ist die Matrix gleich

und ihr Rang ist , also liegt ein glatter Punkt vor.




Ein Punkt auf der Achsenraumkonfiguration zu einem simplizialen Komplex

ist genau dann glatt, wenn er auf zu einer einzigen Facette liegt.

Es sei die Grundmenge und eine Aufzählung aller minimalen Nichtseiten. Nach Fakt ist

eine Abbildung, deren Faser über die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex ist. Wir schreiben die Jacobimatrix als

wobei als zu verstehen ist, falls . Es sei ein Punkt, der auf zu genau einer Facette liegt. Es sei der Träger von (der in enthalten ist). Für jeden Index ist eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von sei , was auch die Dimension von ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt . Es gibt also solche Indizes. Nach Umnummerierung seien diese Indizes und seien die Nichtseiten der Form

zu . Wir betrachten die -Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also

In der Diagonalen ist stets

und die Auswertung der Monome im Punkt ergibt in der Diagonalen Werte . An einer Stelle zum Index mit ist

Der Index gehört nicht zu und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle gleich . Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang , und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest ist, also glatt nach der Definition.

Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger des Punktes in den zwei Facetten und liegt, und aus Indizes besteht. Wir können (nach Umbenennungen) als ansetzen und darüberhinaus annehmen, dass

liegt. Es sei nun eine Nichtseite, die von den Nichtseiten , , verschieden sei. Sei . Bei steht an der Stelle in der Jacobimatrix die . Bei ist

da wir ausgeschlossen haben. Somit ist der Wert des Monoms zum Index an der Stelle gleich . Daher ist überhaupt die Zeile zu in der Jacobimatrix ausgewertet am Punkt die Nullzeile. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens Nichtnullzeilen und damit ist ihr Rang höchstens . Der Punkt ist also nicht glatt.