Stammfunktion/Beziehung zu Hauptsatz/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Eine Funktion

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}D$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in D$ gilt.

Den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung kann man zusammen mit Fakt als einen Existenzsatz für Stammfunktionen interpretieren.

Korollar

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion.

Beweis

Es sei ${}a\in I$ ein beliebiger Punkt. Aufgrund von Fakt existiert das Riemann-Integral

${}F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,,$

und aufgrund des Hauptsatzes ist ${}F'(x)=f(x)$, d.h. ${}F$ ist eine Stammfunktion von ${}f$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es seien ${}F$ und ${}G$ zwei Stammfunktionen von ${}f$.

Dann ist ${}F-G$ eine konstante Funktion.

Beweis

Es ist

${}(F-G)'=F'-G'=f-f=0\,.$

Daher ist nach Fakt die Differenz ${}F-G$ konstant.

$\Box$

Isaac Newton (1643-1727)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Die folgende Aussage ist ebenfalls eine Version des Hauptsatzes, der darin ausgedrückte Zusammenhang heißt auch Newton-Leibniz-Formel.

Korollar

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, für die ${}F$ eine Stammfunktion sei.

Dann gilt für ${}a,b\in I$ die Gleichheit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$

Beweis

Aufgrund von Fakt existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

${}G(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

gilt die Beziehung

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)=G(b)-G(a)\,.$

Aufgrund von Fakt ist ${}G$ differenzierbar mit

${}G'(x)=f(x)\,,$

d.h. ${}G$ ist eine Stammfunktion von ${}f$. Wegen Fakt ist ${}F(x)=G(x)+c$. Daher ist

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)=F(b)-c-F(a)+c=F(b)-F(a)\,.$

$\Box$

Da eine Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, schreibt man manchmal

${}\int _{}^{}f(t)\,dt=F+c\,,$

und nennt ${}c$ eine Integrationskonstante. In gewissen Situationen, insbesondere im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, wird diese Konstante durch zusätzliche Bedingungen festgelegt.