Wir wollen für die Funktion
-
eine
Stammfunktion
bestimmen. Mit der in
Fakt
beschriebenen
Substitution
-
werden wir auf die Funktion
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{\sin ^{2}s\cdot \cos ^{3}s}}\cdot \cos s={\frac {1}{\sin ^{2}s\cdot \cos ^{2}s}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc344a766a97b36c7ed5dffd5e3d61bb5e524f9)
geführt. Mit der in
Fakt
beschriebenen Substitution
-
werden wir auf die
rationale Funktion
-
![{\displaystyle {\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{2}}{4u^{2}}}\cdot {\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{2}}{{\left(1-u^{2}\right)}^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+u^{2}}}={\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{3}}{2u^{2}{\left(1-u\right)}^{2}{\left(1+u\right)}^{2}}}={\frac {u^{6}+3u^{4}+3u^{2}+1}{2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa1371a9916762e4f1aca5d36fe58240ea8500f)
geführt. Hierfür müssen wir die
Partialbruchzerlegung
finden. Die
Division mit Rest
ergibt
-
![{\displaystyle {}u^{6}+3u^{4}+3u^{2}+1={\left(2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}\right)}{\frac {1}{2}}+5u^{4}+2u^{2}+1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ac1077c1be754f834f071775ce3497821f8088)
so dass es also um die rationale Funktion
-
geht. Diese Funktion ist eine rationale Funktion in
, so dass wir zuerst die Partialbruchzerlegung von
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v^{3}-2v^{2}+v}}={\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312e6c79f8a5da03fde979735a838f984db542c0)
bestimmen. Der Ansatz
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![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}={\frac {a}{v}}+{\frac {b}{v-1}}+{\frac {c}{(v-1)^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daac010bfb2417b221e3077149d0b718d945d3d0)
führt zu
-
![{\displaystyle {}{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}=a(v-1)^{2}+bv(v-1)+cv\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0160b18a6cf7ac9860c67f19327ff1d01b02ac06)
Einsetzen von
,
und
führt zu
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{2}}=a\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5001c3d6a627a3d7b12d22240c476d8d607e90bd)
-
![{\displaystyle {}4=c\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5270a0eb241a1d9e1f753db273d5d06df70fb9)
und
-
Daher ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{v}}+{\frac {2}{v-1}}+{\frac {4}{(v-1)^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0edffb07355320ee024b14f35a1932682592bd)
bzw.
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {5}{2}}u^{4}+u^{2}+{\frac {1}{2}}}{u^{2}(u^{2}-1)^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{u^{2}}}+{\frac {2}{u^{2}-1}}+{\frac {4}{(u^{2}-1)^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a9a686c2a85a814473d087b46bc196ceaadf2e)
Mit den Identitäten
-
![{\displaystyle {}{\frac {2}{u^{2}-1}}={\frac {1}{u-1}}-{\frac {1}{u+1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdab916461b36900bd569cd7f79e21e68d455dc)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {4}{{\left(u^{2}-1\right)}^{2}}}&={\left({\frac {1}{u-1}}-{\frac {1}{u+1}}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{{\left(u-1\right)}^{2}}}+{\frac {1}{{\left(u+1\right)}^{2}}}-{\frac {2}{(u-1)(u+1)}}\\&={\frac {1}{{\left(u-1\right)}^{2}}}+{\frac {1}{{\left(u+1\right)}^{2}}}-{\frac {1}{u-1}}+{\frac {1}{u+1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d5e28c04c3caa63ade276df00a9251fa0e0ea7)
ergibt sich schließlich
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {5}{2}}u^{4}+u^{2}+{\frac {1}{2}}}{u^{2}{\left(u^{2}-1\right)}^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{u^{2}}}+{\frac {1}{(u-1)^{2}}}+{\frac {1}{(u+1)^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352020964a1cc14a0ffb632c5e929128b62106bd)
Die Stammfunktion von
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ist daher
-
Daher ist
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eine Stammfunktion von
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und
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ist eine Stammfunktion von
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