Stammfunktion/Rationale Funktion/1 durch t^2 sqrt(1-t^2)^3/Beispiel

Wir wollen für die Funktion

${\frac {1}{t^{2}{\sqrt {1-t^{2}}}^{3}}}$

eine Stammfunktion bestimmen. Mit der in Fakt beschriebenen Substitution

$t=\sin s\,\,{\text{ und }}\,\,dt=\cos sds$

werden wir auf die Funktion

${}{\frac {1}{\sin ^{2}s\cdot \cos ^{3}s}}\cdot \cos s={\frac {1}{\sin ^{2}s\cdot \cos ^{2}s}}\,$

geführt. Mit der in Fakt beschriebenen Substitution

${s=2\arctan u},\,{ds={\frac {2}{1+u^{2}}}du},\,{\sin s={\frac {2u}{1+u^{2}}}}{\text{ und }}{\cos s={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}}$

werden wir auf die rationale Funktion

${\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{2}}{4u^{2}}}\cdot {\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{2}}{{\left(1-u^{2}\right)}^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+u^{2}}}={\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{3}}{2u^{2}{\left(1-u\right)}^{2}{\left(1+u\right)}^{2}}}={\frac {u^{6}+3u^{4}+3u^{2}+1}{2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}}}\,$

geführt. Hierfür müssen wir die Partialbruchzerlegung finden. Die Division mit Rest ergibt

${}u^{6}+3u^{4}+3u^{2}+1={\left(2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}\right)}{\frac {1}{2}}+5u^{4}+2u^{2}+1\,,$

sodass es also um die rationale Funktion

${\frac {1}{2}}+{\frac {5u^{4}+2u^{2}+1}{2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}}}$

geht. Diese Funktion ist eine rationale Funktion in ${}v=u^{2}$, sodass wir zuerst die Partialbruchzerlegung von

${}{\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v^{3}-2v^{2}+v}}={\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}\,$

bestimmen. Der Ansatz

${}{\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}={\frac {a}{v}}+{\frac {b}{v-1}}+{\frac {c}{(v-1)^{2}}}\,$

führt zu

${}{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}=a(v-1)^{2}+bv(v-1)+cv\,.$

Einsetzen von ${}v=1$, ${}v=1$ und ${}v=2$ führt zu

${}{\frac {1}{2}}=a\,,$

${}4=c\,,$

und

${\frac {25}{2}}=a+2b+2c={\frac {1}{2}}+2b+8,\,{\text{ also }}b=2.$

Daher ist

${}{\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{v}}+{\frac {2}{v-1}}+{\frac {4}{(v-1)^{2}}}\,$

bzw.

${}{\frac {{\frac {5}{2}}u^{4}+u^{2}+{\frac {1}{2}}}{u^{2}(u^{2}-1)^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{u^{2}}}+{\frac {2}{u^{2}-1}}+{\frac {4}{(u^{2}-1)^{2}}}\,.$

Mit den Identitäten

${}{\frac {2}{u^{2}-1}}={\frac {1}{u-1}}-{\frac {1}{u+1}}\,$

und

${}{\begin{aligned}{\frac {4}{{\left(u^{2}-1\right)}^{2}}}&={\left({\frac {1}{u-1}}-{\frac {1}{u+1}}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{{\left(u-1\right)}^{2}}}+{\frac {1}{{\left(u+1\right)}^{2}}}-{\frac {2}{(u-1)(u+1)}}\\&={\frac {1}{{\left(u-1\right)}^{2}}}+{\frac {1}{{\left(u+1\right)}^{2}}}-{\frac {1}{u-1}}+{\frac {1}{u+1}}\end{aligned}}$

ergibt sich schließlich

${}{\frac {{\frac {5}{2}}u^{4}+u^{2}+{\frac {1}{2}}}{u^{2}{\left(u^{2}-1\right)}^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{u^{2}}}+{\frac {1}{(u-1)^{2}}}+{\frac {1}{(u+1)^{2}}}\,.$

Die Stammfunktion von

${\frac {1}{2}}+{\frac {5u^{4}+2u^{2}+1}{2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}}}$

ist daher

${\frac {1}{2}}u-{\frac {1}{2u}}-{\frac {1}{u-1}}-{\frac {1}{u+1}}.$

Daher ist

${\frac {1}{2}}\tan {\left({\frac {s}{2}}\right)}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\tan {\left({\frac {s}{2}}\right)}}}-{\frac {1}{\tan {\left({\frac {s}{2}}\right)}-1}}-{\frac {1}{\tan {\left({\frac {s}{2}}\right)}+1}}$

eine Stammfunktion von

${\frac {1}{\sin ^{2}s\cdot \cos ^{2}s}},$

und

${\frac {1}{2}}\tan {\left({\frac {\arcsin t}{2}}\right)}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\tan {\left({\frac {\arcsin t}{2}}\right)}}}-{\frac {1}{\tan {\left({\frac {\arcsin t}{2}}\right)}-1}}-{\frac {1}{\tan {\left({\frac {\arcsin t}{2}}\right)}+1}}$

ist eine Stammfunktion von

${\frac {1}{t^{2}{\sqrt {1-t^{2}}}^{3}}}.$